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当初の目的は，「フーリエ級数が様々な関数 f(x) に収束するのを証明する」 ことでした。もう一度，頭から流れを確認していきます。
まずはフーリエ級数を途中で止めた「フーリエ有限和 SN(x) 」 を考えます。 “ N ”はフーリエ級数の項の数を表しています。 （「有限項のフーリエ級数」参照です。）
そしてこの N を無限に飛ばす，すなわち「フーリエ無限級数」にすれば，f(x) に一致することを示したいのでした。よって，次式が証明すべき式となります。 （これも「有限項のフーリエ級数」参照です。）
_f(x)_lim3.png)
改めて，上式に SN(x) の中身を表示すると次のようになります。
-f(x)1.png)
ここで，a0，an，bn というのは「フーリエ係数」で， それぞれ以下のようにして計算するものです。 （「フーリエ係数（２）」参照です。）
フーリエ係数の計算式を，そのまま代入してしまいます。 ただし，関数そのものの独立変数は「 x 」で， フーリエ係数部分の積分変数は「 y 」としています。
-f(x)4.png)
上式を三角関数の性質等を利用して整理すると，次のようになります。 ただし，変数変換を行い「 z = y - x 」としています。 （「ディリクレ核（１）」参照です。）
上式の赤線の部分は「ディリクレ核」と呼ばれる関数です。 ディリクレ核を，さらに三角関数の性質を利用して変形します。 （「ディリクレ核の中身をまとめる」参照です。）
上式を少し変形すると，次のようになります。
上式と，次式の「リーマン・ルベーグの定理」を見比べます。
上の二つの極限式は同一の形式となっています。 よって，最終的にリーマン・ルベーグの定理を適用することにより証明完了します。
なんて，上手くはいきません。。。
上の流れで見た最後の部分ですが，リーマン・ルベーグの定理を満たすためには条件がありました。
赤線の部分， f(x) には 「発散しない」という条件が必要なのでした。 リーマン・ルベーグの定理を満たす関数は，「発散しない」ことを含めて（発散しないことを必要条件として） 「区分的連続な関数」という条件を満たす必要がありました。 しかし，今回のディリクレ核などから変形してきた証明したい式を見ると，，，
赤線の部分が リーマン・ルベーグの定理における f(x) に相当する部分です。 積分変数は z なので，動く変数 z に注目することにします。 すると， z = 0 で分母がゼロになることが分かります。発散・・・するのでしょうか？ それだと困ります。 極限を取って調べてみます。
極限を調べたい部分を，次のように変形します。
ここで，赤線の部分の極限は， f(z) の微分 となっています。
また，青線の部分はsin関数に関するおなじみの極限公式に当てはまっています。
sinの部分は「１」に収束しているので発散しないことは分かりました。 よって，リーマン・ルベーグの定理を適用するのに必要な条件は f ' (x) が発散しないこととなります。これは「f(x)が微分可能」 という意味になります。 ここで，別に f(x) は別に連続・不連続に関する制限は受けていません。 よって，不連続関数でも良いということになります。 ・・・すると， 「不連続でもいいけど，発散しなくて，しかも微分可能」という条件になります。 これはまさに「f(x) が区分的なめらか」と同値です。
以上から，「ある関数f(x)が区分的なめらかな場合，フーリエ級数は収束し以下の式が成り立つ」 ことが証明されました。
はい。とりあえずひと段落です。
ここまでの話では，「フーリエ級数 S(x)」 が 「区分的なめらかな関数 f(x) 」に， どのような x でも収束する ということを証明しています。これを x の値１つ１つで収束するという意味から 「各点収束」 と呼ぶらしいです。
連続な関数なら，「各点収束」と言われてもイメージできますが， 不連続関数の不連続点ではどこに収束するのでしょうか？ 先に結論を言ってしまうと，次のディリクレの収束定理 というのがあります。
上段の「 f(x) が連続の場合」は上で既に証明した通りです。 下段の「 f(x) が不連続の場合」が言ってることは， 「不連続点ではフーリエ級数は不連続点両端の平均に収束する」 ということです。間を取ってくれるんですね。確かにそれっぽいですが・・・ 一応証明しておきます。
基本的な流れは前と同じです。適当に変形→リーマン・ルベーグの定理 で終わりです。 要は，次の式を証明する感じです。
もうくどいほど解説したと思うので，最後は一気にいきます。
以上で「ディリクレの収束定理」の証明は終わりです。お疲れ様でした。。。
一番最初の，「フーリエ級数はどんな関数にも収束するの？」 という疑問に対する答えは，「相手が“区分的なめらか”な関数だったら収束する」という結論になりました。
今回証明したのは「ディリクレの収束定理」というやつで，電気信号を扱う上ではこれで十分かと思います。 アナログ信号を扱うのであれば，「電圧が無限大に発散する」なんてまずあり得ませんし，そもそも アナログ電圧で信号処理というのは普通行われない手法です。 普通にマイコンなんかで信号処理をする場合は「離散信号」を相手にすることになります。 （離散信号についてはまた後で。）いずれにせよ，これで十分だということで。
しかし，世の中にはフーリエ級数の収束について「○○の定理」みたいなものがたくさん存在するらしいです。 そういうマニアックな話は今回は省略します。。。
ここまで来ても，区分的なめらかな関数だったら sin 関数と cos 関数だけで表現できてしまうなんて，不思議です。。。 一応，もうひとつの疑問として「 sin と cos で全部基底は足りてるの？」というのがありましたが， ここまでの議論の延長ですぐに片付きます。次ページでやっつけます。