ディリクレ核（１）

前ページの式をまとめる

前ページからやっていることは，「フーリエ級数は様々な関数と一致するのか？」ということを確認する作業でした。そのために証明したい式は，下式となっていました。

S_N(x) というのは，フーリエ級数を途中で止めた「フーリエ有限和」のことでした。ただしこのままでは扱いづらいので，いろいろいじりやすい形まで変形してきました。それで，変形した結果が下式・・・という流れです。

それにしても，青いアンダーラインの部分（ = S_N(x)）はゴチャゴチャしすぎている気がします。ちょっと式変形してスッキリまとめることを試します。ここから先は，ダラダラと全部の式を書きならべても煩雑になるので，S_N(x)だけを取り出して変形していきます。

式の整理の常套手段は，とりあえず共通因数でくくる・・・というやつでした。

上式を見ていると，ちょうど赤字の部分が共通です。これでくくり出してみます。　（シグマとインテグラルの位置を入れ替えることになりますが，積分してから総和をとっても，総和をとってから積分しても，計算結果は変わりません。。。証明は略します。）

上式で青いアンダーラインを引いた部分は，cos関数の加法定理そのまんまの形をしています。

そんなわけで，これを使って整理します。

ここまでくると，だいぶS_N(x) がスッキリ表わされるようになりました。ここで，上式の赤色の部分は第 N 項までの級数の形になっています。この級数の中のcosは変数が“(y-x)”となっていて気持ち悪いので，適当に変数変換してきれいにしておきます。

変数変換して見やすく

たとえば，y - x　=　z　と，新しく文字ｚを導入して表わすことにします。

まず，「y」の置き換えと，積分変数の変換は次のようになります。

また，積分変数を「y」から「z」にするので，積分区間も修正します。

以上から，さっきの式は次のようになります。

とりあえずcos関数のところは見やすくなりました。しかし，積分区間に変数の「x」が含まれているがなんか嫌です。周期関数の性質を使って，さらに修正します。

そもそも，今フーリエ級数で再現しようとしている「f(x)」は，sinやcosの寄せ集めで作るわけですから，当然周期関数ということになります。　f(x)を周期関数以外に対応させる話は，とりあえずフーリエ級数の収束の話を終わらせてからにします。（現状のフーリエ級数の注意点参照）
また，周期関数f(x)にかかっているのは1/2という定数と，cos(x)という周期関数になっています。「周期関数×定数」は周期関数のままで，「周期関数×周期関数」もやはり周期関数になります。よって，今回出てきた式は周期関数を積分していることが分かります。

ここで，周期関数を-π～πで積分する時と，-π-x～π-x まで積分する時とを比べてみます。

上の絵の通り，周期関数は積分区間をスライドさせても積分値（=面積）は同じになることが分かります。よって，さっきでてきた積分区間-π-x ～π-x の積分も，-π～πの積分として書き換えてしまいます。どう考えてもそのほうが分かりやすいので。。。

やっと式が短くなりました。これで一応完成です。。。