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これまで扱ってきたフーリエ級数は，「周期2πの周期関数」という大きな制限がありました。 実用を考えた場合，電気信号の周期というのは様々で，このままでは使い物になりません。 そこで，任意の周期関数でも表せるようにフーリエ級数を拡張することを考えます。
適当な“L”という値を用いて，-L≦ x ≦Lで１周期，つまり周期2Lの関数を考えます。 そもそも「周期は2πだ」という縛りは，フーリエ級数を構成するsin関数やcos関数の周期が2πであることに由来しているのでした。 それならば，三角関数の周期が2Lになるように調整すれば，周期2Lの周期関数を表せることになります。
すると，周期2Lの実フーリエ級数は以下のように表すことができます。
周期2Lの複素フーリエ級数で書けば以下のようになります。
周期は変化しましたが，「周期関数」という強い縛りはそのままなので，特に大きな変化はありません。 基底関数であるところの三角関数の周期自体を“2L”にすることで対応したという感じになっています。
フーリエ係数についても，上と同様に三角関数の周期を変化させるだけです。 何か特別に，難しいことをやる訳ではありません。
まずは実フーリエ係数です。復習として，周期2πのものを確認しておきます。
係数や積分範囲に含まれる“π”は，周期2πの“π”です。 なので，周期が“2L”の場合は単純に“π→L”と書きかえれば良いのでは・・・と直感的に分かります （厳密にはフーリエ係数の導出において， 積分範囲を-L〜Lとし，三角関数の中身をn・x→n・(π/L)xと置き換えて計算するとその通りになります）。 よって，周期2Lの場合の実フーリエ係数は以下のようになります。
ただπだった所がLになっただけです。
次は，複素フーリエ係数です。例のごとく，最初に周期2πの時の形を確認しておきます。
これも同様に，積分範囲や係数をπ→Lと変更して，，，
これで，一応「周期関数」であればどんな周期であろうと対応できるようになりました。 しかし，実際のケースではきれいな周期関数なんてほとんどありません。 次は更に拡張を進めて，「周期関数ではない関数」でもフーリエ級数展開することを試してみます。