トップページ > フーリエ変換入門（FFT入門） > 収束定理（１１）
ここまでの「収束定理」 の流れ全体を通して，フーリエ級数が収束すること， そして三角関数が完全直交系を張ることを確認してきました。
しかし，三角基底で様々な関数を表せるのは分かっていますが， その係数，すなわちフーリエ係数は最適な値を計算できているのでしょうか。。。
上のフーリエ係数の公式は， フーリエ係数のところで導出しました。 これをどうやって導出していたかというと， 「3次元ベクトルは基底と内積をとればその成分が出るから，関数もきっと同じノリでいけるはず・・・」 と，今思えばかなりテキトーな事をやっています。本当にこれで大丈夫なのでしょうか。
もし，ある関数をフーリエ級数で表すときに複数のパターンがあるならば， 当然，もともとの関数に一番近づくようにフーリエ係数を選びたいところです。 そんなわけで，あのフーリエ係数の公式で妥当なフーリエ係数を計算できているのかを確かめてみます。
たとえば，ある関数 f(x) を表すためにフーリエ級数を用意するとします。 そのフーリエ係数は，いつも通りの公式から出した値ではなく， 「別の値を持つフーリエ係数」だとします。 このフーリエ係数を， a'0，a'n，b'n と表わすことにします。
ここで， 「もともとの関数 f(x) と，フーリエ級数との差（誤差）を2乗して，1周期にわたって積分」 というのを考えます。 2乗しているのは誤差をすべて正の値としたいからで，1周期で積分しているのは 全体としての誤差を考慮するためです。 これを使って，関数とフーリエ級数の誤差を見積ることにします。
適当に計算を進めると，次式のような感じになります。
ちょっとゴチャゴチャしてきたので，１つ１つ分けて対処していきます。
まず，赤いアンダーラインの項ですが，これは 「フーリエ係数の公式」の形を利用して変形することができます。
はい，これで式中に a'0，a'n，b'n の比較対照である本来の（？）フーリエ係数 a0，an，bn が出てきました。
次は，青色のアンダーラインのところです。
ここで，「三角関数の直交性」より，-π〜πの間で積分して残るのは自分自身の２乗だけとなります。 （ 三角関数の直交性（１） ， 三角関数の直交性（２） 参照です。 ）
これで，赤いアンダーラインの部分と青いアンダーラインの部分を整理できました。 もう一度，最初から式を追ってみます。
上式では，式変形の途中で「a - a'」のように２種類のフーリエ係数同士を引き算する形へ無理やりもっていっています。「比較」と言えば引き算（？）なので。
以上まとめると，もともとの関数とフーリエ係数の「二乗誤差」は次式のような関係になっています。
ここで，「二乗誤差」を最小にするのは赤いアンダーラインの部分がゼロになった時だと分かります。 すなわち， a'0 = a0 ， a'n = an ， b'n = bn が成り立つ時ということになります。 これによって，いままで使っていたフーリエ係数を導出する公式が 「最適近似」 となっていたことが確認できました。
このように，フーリエ係数は普通に公式で計算すればベストな値（？）となっているのですが， これを フーリエ係数は「極値性」を持っていると言うらしいです。
さらに，上式に a'0 = a0， a'n = an。 b'n = bn を代入してやります。
上式で「二乗誤差」の部分は，当然ゼロ以上となっています。よって，
上でアンダーラインを引いた不等式を 「ベッセルの不等式」 (Bessel's inequality)と呼ぶそうです。
続けて，もう少しだけ式をいじります。 上の式において， N → ∞ の極限では SN(x) → f(x) となることを収束定理 のところで証明したので， 次のように式変形できます。
以上から， N → ∞ の極限ではベッセルの不等式の等号が成り立つことになります。 最後のアンダーラインを引いた等式を 「パーセバルの等式」 （Parseval's equation） と呼ぶそうです。
では，改めて「パーセバルの等式」を見てみます。
左辺の積分計算は，f(x) のノルムの2乗を求めるときの式となっています。 ノルムといえば，なんというか，関数をベクトルとしてイメージした場合の「ベクトルの長さ」 のようなものという感じです。。。
そして，左辺の方は各フーリエ係数を2乗して，全て足し合わせたような形になっています。 また，頭にπがかかっていますが，これは途中の三角関数の2乗を積分するあたりで出てきたのでした。 これは sin 関数や cos 関数のノルムの2乗である「π」であると考えられます。
そもそもフーリエ級数は「フーリエ係数×三角関数」という形式となっていました。 このフーリエ係数の各項のノルム2乗を計算したとすれば， フーリエ係数は定数なのでそのまま2乗されたものが出てきます。 sin関数や cos 関数の部分はノルム2乗としてπが出てきた・・・と見ることができます。 すると，パーセバルの式は 「f(x)のノルムの2乗」 = 「各基底関数のノルムの2乗の総和」 という式として見ることができます。 これは3次元ベクトルで言うところの3平方の定理に相当します。今回は無限次元なので，無限平方の定理というか，なんとうか。。。
ちなみに，パーセバルの等式に a0 = 0， an = 0， bn = 0 を代入すると， f(x) = 0 となります。 ここで，もしも三角関数以外の基底関数が存在するならば 三角関数の係数をゼロにしてもその基底が生き残るので必ずしも f(x) = 0 とはなりません。 よって，このパーセバルの定理によって前に証明した 三角関数の完全性 を再度確認できたことになります。