トップページ > フーリエ変換入門（FFT入門） > 前フリ（６）
前ページでは，sin関数は全て直交だということを確認しました。 しかし三角関数は sin だけではありません。cos関数はどーなってんだよ？ とツッこまれてしまうかもしれません。 結論としては，全てのcos関数は直交してて，さらにsinとcosも直交なんです。 だから，sin，cosの両方が揃わないと任意の関数を表現できない・・・という話で終わります。 でも念のために計算しておきます。
前ページでやったのと同様に，cos(mx)とcos(nx)で内積をとってみます。
この結果は，sinでやった時と全く同じです。そんなわけで，やはりmとnに関して場合分けします。前ページと全く同じやり方で，下の結果がでます。
以上，cos関数どうしも直交していることが示せました。 全てのcos関数は，互いに共通成分を一切持っていません。 なんというか，cos関数も「基底」っぽくなってきました。 では，sin関数だけ，もしくはcos関数だけで全ての関数を表すことができてしまうのでしょうか。 またはsinとcos両方を合わせないとダメなのでしょうか。それを知るには，「sinとcosでは共通成分があるのか？」 ということを調べる必要があります。もし共通成分を持っていないなら，両方必要だと分かります。
そんなわけで，次はsinとcosで内積を計算します。
今度は，sin関数とcos関数で内積をとってみます。
sin関数とcos関数の積を扱うために，積和公式のもう1つのパターンを作っておきます。
積和公式が準備できたので，一般化したsin(mx)とcos(nx)に関して内積を計算します。
・・・というわけで，sin関数とcos関数も直交しています。 つまり，互いに共通成分を持たないので，sin関数とcos関数の両方を合わせないと 基底が不足してしまいます。 最初の例の矩形波では，たまたまsin関数だけで表せていましたが，そういうケースもあるというだけです。 全ての関数を表現できると言うためには，sin関数とcos関数の両方が必要です。
では，「一定値関数」のようなものでもsin関数とcos関数の組み合わせで表せるのでしょうか。 sin関数もcos関数も振動する関数ですので，変化が無い一定値関数を表現するのは難しそうです。 最後に，定数aとsin関数・cos関数の内積を確認します。
非常に単純な積分ですが，明らかにsin関数は「定関数」と直交しています。 cos関数についても同様にaを定数として内積を計算します。
おなじく，上式からcos関数と定関数も直交していることが確認できます。 ・・・とすると，「定数」という基底も盛り込む必要があることに気づきます。
これで全部終わりです。おつかれさまでした。。。