トップページ > フーリエ変換入門（FFT入門） > 前フリ（３）
【遊び方】
説明するほどたいそうな物では全くありません...
マウスを動かすと，そこにベクトルの終点が移ります。その動きに合わせてx軸上では赤いベクトル，y軸上では青いベクトルが動きます。それだけです。。。
いきなりベクトルの話です。しょっぱなから話が逸れてる感じですが，これが最終的に「sin関数とcos関数で全ての関数を表せる」という話につながったりします。 さらに，今後フーリエ解析について色々話を進める中で，難しそうな所ではイメージを固めるためにベクトルを考えます。フーリエ解析とベクトルはかなり強い結び付きがあったりします。
上のアプレットでは， 赤いベクトルはx方向という意味で ex ， 青いベクトルはy方向という意味で ey と書いてます。 （以下，ベクトルはaのように太字で書きます。） これは普通のx軸とy軸をイメージしているので，言うまでもなく ex と ey は直角に交わっています。 あと， ex と ey の頭には ^ （ハット）がついていますが，これは「ベクトルの長さは１」という意味です。
ここで重要なのは， 平面上の全ての点を表現するには，長さ1で互いに直角なベクトルの ex と ey をそれぞれ適当に“伸び縮み”させて足し合わせればよいということです。 これを数式で書き表したものが，アプレット右下の表示となっています。
当たり前のことを何度も言いますが，2次元平面上ではどのような場所でも ex と ey を組み合わせれば指定できます。 さらに，ある点を指す場合に，その時の ex と ey の係数の組み合わせは「1通りだけ」に定まります。 2次元平面上の点なんて無限にあるのに，たった2個のベクトルだけで表せるなんて，当然のこととはいえ， ちょっとすごいです。。。z軸方向に ez を導入すれば，今度は3次元空間のすべての点を指定することができるようになります。
ex と ey のように，「そのベクトルを組み合わせれば，平面上の全ての点を指定できる」ものを 「基底ベクトル」 と呼ぶそうです。基底・・・いろんな物の「もと」という感じでしょうか。英語では“element”とか呼ぶのだと思います。 そんなわけで基底ベクトルは普通の教科書で「e」と書かれます。
もうちょっと2次元ベクトルの話を続けさせてください。。。 次はベクトルの内積の話です。
一応，内積の計算とはどんなものだったか書いておきます。 ベクトルAのうち，ベクトルB方向の「成分」が |A|cosθという「長さ」です。そこにベクトルBの長さ|B|をかけた値が A・Bなんです・・・。そんなことを言っているのが「内積」です。 正直なところ，使いどころがイマイチよく分かりません。
しかしここで，ベクトルBを「基底ベクトル」（たとえばex）にしてみると，「内積」の言いたいことがちょっと分かりやすくなります。
この場合，exの長さは「１」なので，内積を計算すると 単純に「ベクトルAのex方向の成分」が出てきます。 この数字を「Ax」と書くことにします。 同様に，ベクトルAとベクトルeyで内積をとれば， 「ベクトルAのey方向の成分」を取り出すことができます。 これを 「Ay」と書けば，
と，適当なベクトルAを exと eyで表す形式になりました。アプレットで表示している数式はこれです。 ここまで，それほど派手な計算はやっていませんが 「基底ベクトルと内積をとると，その方向の成分を取り出せる」 というのは非常に重要です。フーリエ変換をやる上で常に意識する事柄だったりします。
もしかしたら前ページの文脈から気付かれているかもしれませんが，この「基底ベクトル」と同じノリの「基底関数」みたいなものがある・・・かも？ → それを使えば全ての関数を表せるかも？ → 「基底関数」ってもしかして三角関数のこと？ とか，そんな想像をするのは自然な流れだと思います。
結論を出す前に，あと少しだけベクトルの内積の話を続けます。。。
さっき使ったベクトルの内積というのは，|A|とか|B|とか，「長さ」という図形的なパラメータを使っていました。しかし，ベクトルには「成分」というものもあります。座標みたいなイメージのアレですね。
上のように書いた場合，ベクトルAのx成分は3, y成分は5・・・という意味でした。これは A=(3, 5) みたいに横に書いても同じ意味ですが，横書きだと後々面倒なことになるので縦書きに統一しておきます。 なんというか，この書き方は「基底」をすごく意識している気がします。全てのベクトルは ex と ey と表わせるので，それぞれの係数だけを書いてしまおう・・・という感じに見えます。
では，この成分形式の場合の内積はどうやって計算するかというと，
という感じで，x同士，y同士で成分をかけ合わせて，足し算するという形になります。 この内積計算のやり方はすごく重要です。今後ずっと使います。。。 では，さっきやったのと同様に，ベクトルAの相手が基底ベクトルex の場合を考えます。 ex を成分表示すると次のようになるのでした。
exは，単純にx成分に1を持ち，y成分はゼロ・・・という基底そのまんまな感じです。 これと内積を取ってやると，
ということで，やっぱりAxがでてきます。 ex の x成分は1，y成分はゼロなので，ベクトルAの x だけが生き残る感じになっています。
ついでに， 3次元の基底 ex， ey， ez も書いておきます。 3次元になってもイメージは全く同じです。
最後に，ベクトルAが3次元の場合の各成分の出し方を見てみます。 これも全く同じ感じで・・・
ベクトルAが2次元だろうと3次元だろうと，「基底ベクトルと内積をとれば，その成分が取り出せる」ことには変わりありません。極端な話，ベクトルの次元が「無限次元」だったとしても通用する気がします。イメージ的に。
そんなわけで，ここまで重要なベクトルの性質を確認しました。「基底ベクトル」とか，「成分を使う内積の計算」とかは後々まで使います。
とりあえず，次ページでは三角関数に話を戻します。 今回確認したベクトルの内積の拡張として，「関数どうしの内積」の話になります。