三角波の複素フーリエ級数展開

三角波

前に一度，三角波のフーリエ級数展開でやった内容です。前ページと同じ流れで，まずは相手にする関数を確認しておきます。

では，以上の三角波を相手に，複素フーリエ係数を求めます。

まずc₀ですが，この関数は原点対称の奇関数なので，明らかにオフセット成分はありません。よって，c₀ = 0ということで，計算を省きます。

c_kはいつも通り計算していきます。

ここで，xe^jkxの項は次のように部分積分するのでした。

すると，c_kの式最終段の第１項は，

第２項は，

最後に，第３項です。

・・・ここまでやっておいてアレですが，今回の題材に選んだ波形は計算がものすごく面倒ですね。。とりあえず，第１，第２，第３項のそれぞれを，オイラーの定理なり，三角関数の性質なりを使って整理していくと，最終的にc_kは以下の形になります。

念のため，実フーリエ級数展開したものと整合性を確認しておきます。

・・・ということで，やはり実フーリエ級数展開した結果と同じであることが確認できました。

ここまでの内容だけを見ると，sinやcosでやっていた実フーリエ級数展開を，単に複素数でやったというだけに思えるかもしれません。しかし，後々フーリエ変換の性質を考える場合には，