数学ボードから(2)
ココ
>ｐaの回転の中心ｃaとする。
>半直線 ｃaｐaとｓbの交点ｑとする。
>ｐa＝ｑとなるまでの時間を求める。とか。
>計算はおまかせします。
Ｐaの座標(ax.ay.az)，Ｓb上の１点の座標(bx.by.bz)，Ｓbの法線(nx,ny,nz)を
ax = cos(t)*i+sin(t)*j+t*k+l
のような時間の関数として表し、
nx*(ax-bx)+ny*(ay-by)+nz*(az-bz) = 0
を解けば、接触する時間がわかるはずなのですが、
肝心の式を立てられませんでした。
お教え頂いた考え方だと、半直線ｃaｐa等を時間の関数にする必要があるので、
同様に行き詰まってしまいます。
>えっと、ｐaがよくわかりません。
>いかにも応用がありそうですが、どういう背景の問題なんでしょう。
移動および回転する剛体同士の衝突シミュレーションをしたいと思っています。
点ａ，点ｂは各剛体の重心で、ｐaは一方の頂点、ｓbは他方の面です。
点と無限平面が接触するまでの時間を求め、その時点で面の内外判定をしようと考えました。
並進速度ｖａで移動する点ａ、並進速度ｖｂで移動する点ｂ、
ａを通る直線を軸として角速度ｗａで回転する点ｐａ、
ｂを通る直線を軸として角速度ｗｂで回転する平面ｓｂがある時、
ｐａとｓｂが接触するまでの時間を求めよ。
ただし、回転軸の方向は共に変わらないものとする。
自分で解けなくてお願いにあがりました。
問題を簡潔にしようとしたため不備があるかも知れません。
指摘して頂けると幸いです。
「４６段歩くと０秒」の解釈が気になっていたのだが、
４６段先の「ステップ」は２階に着いているので、
Ａが歩いてそこにいつ着こうが関係ないというわけだな。
私の追加した未知数は、
「Ａが２階に着くまでに何段登れるか」
に関係することで、
「２階まで何段あるか」
には関係しないようだ。
そんなに難しい問題なのかなぁ。
Ａはｘ段のエスカレータを２６段歩き３０秒で到着した。
Ａより２６段先行した位置にＢが立ちどまっているものと仮定しよう。
結果的にＡとＢは同時に着く――つまりＢは (ｘ−２６) 段を３０秒で進んだ訳である。
Ｂの速度は毎秒 (ｘ−２６)／３０ 段。これがエスカレータの速度に他ならない。
――と、それだけの話ではないのでしょうか？
34段-26段：30秒−18秒＝ｘ段：30秒
ｘ段＝20段
20段+26段＝46段
>これを含めて考えると未知数が３つに増える
>為に、式２つでは解が得られないように思わ
>れる。
解が一意に定まらないの意味である。
coolee氏は「止まっている」エスカレータｘ段を
あらかじめｙ段歩き、残りのｘ−ｙ段で所用時間
がいくらかかったとして計算している。
しかしながら出題者の意図は「動いている」
エスカレータを歩く場合であろうと推察される。
動いているエスカレータで一段歩いた
残り段数をｘ−γとすると、γは１より大きい
だろう。
これを含めて考えると未知数が３つに増える
為に、式２つでは解が得られないように思われる。
なお「ｎ段歩くとｍ秒」の条件を追加しても、
これが他の２つから独立でないので意味がない。
ｎ元連立１次方程式であっても、ｎ個の式が一次独立でなければ解けない。
ａ〜ｘのｘがあればそれでいいのですが
そもそもそのようなｘが存在しないときはダメです。
例（１が２と３から「独立」なことを示すモデル）
Ｇをブリッジをもつグラフとする。
Ｇの辺集合 E(G)をＡとし Ａにおいてａ〜ｂを｛ａ、ｂ｝を含む（通る）
サーキット（輪ゴム状なモノ）が存在することとする。
２はあきらかに成立し３も成り立つ。
しかしブリッジａに対してａ〜ａでない。 //
鴉城 蒼彗さんからの掲示板 YUUへの投稿を転載しておきます。
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数学関連のホームページを探してたらここにたどりつきました。
それで一つ質問があるのですが、もしよろしかったら教えていただけないでしょうか？はじめてなのにあつかましいとは思いますがどうかよろしくお願いします。
さて、質問なのですが、同値関係の公理というものがありますよね？
ａとｂが関係があるということを「〜」を用いてａ〜ｂとかくとする。
１．反射律 ａをＡの元とする。このときａ〜ａである。
２．対称律 ａ，ｂをＡの元とする。もしａ〜ｂならばｂ〜ａである
３．推移律 ａ，ｂ，ｃをＡの元とする。もしａ〜ｂかつｂ〜ｃならばａ〜ｃである。
の３つが成り立っているとき、この関係「〜」は同値関係であるという。
というものです。で、
「２と３が成り立つならば１が成り立つ」
なぜならば、
２より ａ〜ｂ ならば ｂ〜ａ
よって３を用いれば
ａ〜ａ
すなわち１が成り立つ
という命題は間違っているらしいのです。証明も一見合ってそうなのですが・・
どこがまちがってるのかわかりません。
場違いな質問をしているのかもわかりませんが力になっていただけたら幸いです。
>渡辺氏からのメールでの出題です。
>１． １階から２階までエスカレータで登るのに
>この上を２６段歩くとすると、３０秒で２階に到着し、
>３４段歩くと、１８秒で２階に到着します.
>このエスカレータは何段あるでしょう.
>（エスカレータが静止しているとき、見える部分は
>何段かといういみです．）
>２. この問題は連立１次方程式の問題ですか？
＜Sol(Solution)1＞ x段とする。x-26段を30秒、x-34段を18秒なので
(x-26)-(x-34)=8段を 30-18=12秒。（←小学生は線分図使用）
8÷12= 2/3(段/秒) ----- エスカレーターの速さ
26+2/3*30= 46 より x=46 答え ４６段 //
x - 26 x - 34
＜Sol 2＞ --------- = --------- より x=46
30 18 //
以前「Ｇ2nのコセットの総数を求めよ」とか「Ｇ2nの（すべての）ｉ次元部分空間を決定せよ」とかを問題として出しましたが、一般にＧqnのｋ次元部分空間の総数は第ｋガウス係数（Gaussian coefficient）、Ｇqnの部分空間の総数はガロアナンバー（Galois number）とよばれているようです。
第ｋガウス係数を (n,k;q)で表示して、基本性質を列挙すると
・(n,k;q)=(qn-1)(qn-1-1))...(qn-k+1-1))/(qk-1))(qk-1-1))...(q-1))
(k=0,...,n)
・(n,k;q)=(n,n-k;q) (k=0,...,n)
・(n,0;q)＜...＜(n,n/2;q)＞(n,n/2+1;q)＞...＞(n,n;q) （n even）
(n,0;q)＜...＜(n,(n-1)/2;q)=(n,(n+1)/2;q)＞...＞(n,n;q) （n odd）
つまり列｛(n,k;q): k=0,...,n｝は単峰（unimodal）
・(n,0;q)=1, (n+1,k;q)=(n,k-1;q)+qk(n,k;q)
>公式に関して、次の予想をしたい
>１＋ｓ１＋ｓ２／２＋ｓ３／６
>ここで、ｓ１、ｓ２、ｓ３は多面体 ?
>何らかの方法で単位立方体、最小三角柱、
>最小三角錐に分割した場合の個数。
つぎの重みをかんがえてみたらどうでしょう。
定義 （多面体Πの格子）点Ｐに対して
Ｐの重み w(P;Π)：= Ｐを中心とするＰを含む胞体以外とは交わらない
球ＤとΠとの交わりの体積をＤの体積でわった数
>Hadwigerっていうひとがつくった分解合同の理論っていうのはあまり予備知識要らなくておもしろくてためになります。
ボルチャンスキー 『図形の等積と分解合同』(木村君男＋銀林浩著)
数学新書、東京図書 （絶版？）
『高校生に贈る数学V』第２部（ｂｙ砂田）岩波書店
>Hadwigerは初等的な数学の大家で４色問題と関連する予想を立てたのでも
>有名です。
Hadwigerの予想 ループをもたないｎ染色的でないグラフＧはＫn+1を
マイナーとしてもつ。
ここで ｎ染色的：⇔ ｎ色あれば隣接する２頂点が同色にならないように
頂点の着色ができる
マイナー：⇔ 辺の除去や縮約（一点に縮める）や孤立点の除去
をいくつか施してえられるグラフ
Ｋn：⇔ ｎ頂点の完全グラフ（すべての異なる２頂点がひとつの辺
で結ばれてるグラフ）
♯ ｎ=４のハドヴィゲール予想は４色定理と同値。（by Wagner）
♯ ｎ=５の場合が最近 Seymourとそのグループのメンバー（？）によって証明されて大きな賞を与えられたしょうです（寒）。 Say more?（死）
>rstanって誰かと思ったら、R.Stanleyのことか。
>代数的組み合わせ論では有名らしいな。
”代数的組み合わせ論”っていうコトバはかなり不確定で使われてますね。
日本では有限群論関係のひとがやってるデザイン関係を指すようです。
Stanleyは可換環から転向したひとで数え上げ的組合せ論の集大成的な本を
書いたそうです。
>例のファイルの名前はEhrhart.psになってる。
>Ehrhartってのはフランスの数学者で、凸多項式P
>の膨らましnPの格子点を数えるEhrhart多項式で
>有名らしい。
>実はこいつをうまく使うとPickの公式の
>高次元化もできる。なんてことは
>「可換代数と組み合わせ論」日比孝之（シュプリンガー東京）
>に書いてあった。(^^;)
じゃあ「中学までの数学で」という純粋な理念から外れてしまいますね。
あんまり予備知識の要らないおもしろい理論っていうのがあってもいいと
おもうんですケド。
Hadwigerっていうひとがつくった分解合同の理論っていうのはあまり予備知識要らなくておもしろくてためになります。
Hadwigerは初等的な数学の大家で４色問題と関連する予想を立てたのでも
有名です。
>なんか 以下のページで "Pick's theorem and generalizations"（ps）
>というのにリンクしてあります。
>
> http://www-math.mit.edu/~rstan/classes/S34/problems.html
>どんな内容なんでしょう？？
rstanって誰かと思ったら、R.Stanleyのことか。
代数的組み合わせ論では有名らしいな。
例のファイルの名前はEhrhart.psになってる。
Ehrhartってのはフランスの数学者で、凸多項式P
の膨らましnPの格子点を数えるEhrhart多項式で
有名らしい。
実はこいつをうまく使うとPickの公式の
高次元化もできる。なんてことは
「可換代数と組み合わせ論」日比孝之（シュプリンガー東京）
に書いてあった。(^^;)
>問題： つぎのピックの公式を３次元に拡張せよ。
>［ピックの公式］
> 格子点を頂点とする多角形の面積は Ｂ／２＋Ｉー１
> （ここで、Ｂは多角形の周上の格子点の数でＩは内部の格子点の数。）
次の定理を発見した。
「格子点を頂点とし、辺、面、内部に一つの格子点ももたない、
四面体でいくらでも大きな体積のものが存在する」
