1.はじめに


3乗数の和で表現できる数について、次の式がよく知られています。

(9t3+1)3+(9t4)3-(9t4+3t)3=1

この式の解釈は、1は3つの3乗数の和で無数に表すことができると言う事です。

そこで、4乗数の世界で同じ様な恒等式が有るか調べたところ有りました。

1は7つの4乗数の和で無数に表すことができることが解かりました。


2.定理
      
     
       t は整数とする。
    任意のtについて次の式が成立する。

   (4t4+1)4-(4t4)4-(4t3)4-(3t2)4-(2t2)4+(t2)4-(2t)4=1


   すなわち、1は7つの4乗数の和で無数に表すことができる。
    
      

     

証明

x は整数とする。

(x+1)4-x4=4x3+6x2+4x+1

x=4t4とおけば、(4t4+1)4-(4t4)4=(4t3)4+(96t2)4+(2t)4+1

ところが96=34+24-1だから、(4t4+1)4-(4t4)4=(4t3)4+((34+24-1)t2)4+(2t)4+1

すなわち、(4t4+1)4-(4t4)4-(4t3)4-(3t2)4-(2t2)4+(t2)4-(2t)4=1 となる。


                  
       
3.数値例


 t=1   54-44-44-34-24+14-24=1
 t=2   654-644-324-124-84+44-44=1
 t=3   3254-3244-1084-274-184+94-64=1
 t=4   10254-10244-2564-484-324+164-84=1
 t=5   25014-25004-5004-754-504+254-104=1
 t=6   51854-51844-8644-1084-724+364-124=1
 t=7   96054-96044-13724-1474-984+494-144=1
 t=8   163854-163844-20484-1924-1284+644-164=1
 t=9   262454-262444-29164-2434-1624+814-184=1
 t=10  400014-400004-40004-3004-2004+1004-204=1
 t=11  585654-585644-53244-3634-2424+1214-224=1
 t=12  829454-829444-69124-4324-2884+1444-244=1
 t=13  1142454-1142444-87884-5074-3384+1694-264=1
 t=14  1536654-1536644-109764-5884-3924+1964-284=1
 t=15  2025014-2025004-135004-6754-4504+2254-304=1
 t=16  2621454-2621444-163844-7684-5124+2564-324=1
 t=17  3340854-3340844-196524-8674-5784+2894-344=1
 t=18  4199054-4199044-233284-9724-6484+3244-364=1
 t=19  5212854-5212844-274364-10834-7224+3614-384=1
 t=20  6400014-6400004-320004-12004-8004+4004-404=1
 t=21  7779254-7779244-370444-13234-8824+4414-424=1
 t=22  9370254-9370244-425924-14524-9684+4844-444=1
 t=23  11193654-11193644-486684-15874-10584+5294-464=1
 t=24  13271054-13271044-552964-17284-11524+5764-484=1
 t=25  15625014-15625004-625004-18754-12504+6254-504=1
 t=26  18279054-18279044-703044-20284-13524+6764-524=1
 t=27  21257654-21257644-787324-21874-14584+7294-544=1
 t=28  24586254-24586244-878084-23524-15684+7844-564=1
 t=29  28291254-28291244-975564-25234-16824+8414-584=1
 t=30  32400014-32400004-1080004-27004-18004+9004-604=1







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