１．はじめに

今回もA4+B4+C4=D4+E4+F4のパラメータ解について説明したいと思います。
最初は４乗数の和で表される整数について調べていたのですが、偶然にも前回の同じ様な恒等式が
得られたのでまとめてみました。



2.定理
      
      a1,a2,a3,a4,a5,c1,n　は整数とする。

　　　A4+B4+C4=D4+E4+F4 のパラメータ解は存在する。


　　  　A=a1x4-c1
        B=a4x3
        C=a2x
        D=a1x4+c1
        E=a3x
        F=a5x
 　

　　　但し、下記の条件を満たすこと。

      条件
    
      a1=1 
      c1=2(4n-3)
      a4=2n
      a24-a34-a54=2(12n-6)      
      

     

証明

(a1x4-c1)4+(a4x3)4+(a2x)4=(a1x4+c1)4+(a3x)4+(a5x)4

としてｘの係数を０にするようにa1,a2,a3,a4,a5,c1を決定する。
展開して整理すると
　　
(a44-8a13c1)x^12+(-a34-8a1c13+a24-a54)x4
となります。


x12の係数=a44-8a13c1
        
a1=1とすれば、8c1=a44　だからc1=2(4n-3),a4=2n となれば良い事がわかります。
例えば　n=1でc1=2,a4=2,n=2でc1=32,a4=4となります。


ここで、a1=1でなくても解は存在しますが、トリビアルなので省略します。

x4の係数=-a34-8a1c13+a24-a54

a1=1,c1=2(4n-3)　だからa24-a34-a54=8c13=2(12n-6) となります。
例えば　n=1　の時 a24-a34-a54=64　の解は,a2<100の範囲で次の通りです。
34-24-1=64
94-84-74=64　
374-364-214=64


                  
       
3.調査結果

a1=1,c1<200の範囲で調査しましたが、範囲を広げればまだ解は有るようです。

(x4-2)4+(2x3)4+(3x)4=(x4+2)4+(2x)4+x4

(x4-2)4+(9x)4+(2x3)4=(x4+2)4+(8x)4+(7x)4

(x4-2)4+( 2x3)4+( 37x)4=( x4+2)4+( 36x)4+( 21x)4


(x4-32)4+ (4x3)4+( 28x)4= (x4+32)4+ (12x)4+( 24x)4

(x4-32)4+ (4x3)4+( 33x)4= (x4+32)4+ (4x)4+( 31x)4

同様にして

(x4-8)4+( 3x3)4+( 8x)4=( x4+8)4+( 2x3)4+( x3)4

(x4-8)4+( 9x3)4+( 8x)4=( x4+8)4+( 8x3)4+(7* x3)4

(x4-8)4+( 37x3)4+( 8x)4=( x4+8)4+( 36x3)4+(21* x3)4

(x4-128)4+( 6x3)4+( 64x)4= (x4+128)4+( 4x3)4+( 2x3)4

(x4-128)4+(7x3)4+ (64x)4= (x4+128)4+( 6x3)4+(3x3)4