I searched the smallest solution of x4+y4+z4=nw4.

Search condition

    n<100
    x>y>z>0
    x<5000(about n=2,18,98: x<1000)
 
 

I made some filters to reduce the number of the search data.


    1. Consideration of x4+y4+z4=nw4 mod 16

       In the case of n mod 16 =4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,above equation have no solution.


    2. Consideration of x4+y4+z4=nw4 mod 25

      In the case of n mod 25 =4,5,9,10,14,15,19,20,24,above equation have no solution.

Search results  
 
     1. Case n=2

        There are infinitely many  solutions.
        Using identity x4+y4+(x+y)4=2(x2+xy+y2)2,we can get a parameter solution.
        One of the solution for x2+xy+y2=1 is (x,y)=(1,0),so we obtain a following parameter solution.
        (-1+k2)4+(k2+2k)4+(1+2k)4 = 2(1+k+k2)4

            k    

            2     84 +    34 +    54 = 2*    74
            3    154 +    84 +    74 = 2*   134 
            4     84 +    54 +    34 = 2*    74 
            5    354 +   244 +   114 = 2*   314 
            6    484 +   354 +   134 = 2*   434 
            7    214 +   164 +    54 = 2*   194 
            8    804 +   634 +   174 = 2*   734 
            9    994 +   804 +   194 = 2*   914 
           10    404 +   334 +    74 = 2*   374 
           11   1434 +  1204 +   234 = 2*  1334 
           12   1684 +  1434 +   254 = 2*  1574 
           13    654 +   564 +    94 = 2*   614 
           14   2244 +  1954 +   294 = 2*  2114 
           15   2554 +  2244 +   314 = 2*  2414 
           16    964 +   854 +   114 = 2*   914 
           17   3234 +  2884 +   354 = 2*  3074 
           18   3604 +  3234 +   374 = 2*  3434 
           19   1334 +  1204 +   134 = 2*  1274 

      2. Case n=18     
    
         There are infinitely many  solutions.
         In the same way as n=2,we can get a parameter solution.
         x2+xy+y2=3 is (x,y)=(1,1)

         (-1+2k+2k2)4+(-2-2k+k2)4+(1+4k+k2)4 = 18(1+k+k2)4


     3. Case n=98   
      
         There are infinitely many  solutions.
         In the same way as n=2,we can get a parameter solution.
         x2+xy+y2=7 is (x,y)=(2,1)

         (-3-2k+2k2)4+(-1+4k+3k2)4+(2+6k+k2)4 = 98(1+k+k2)4


 

             
                                       (x,y,z,w)=(-,-,-,-): locally not solvable  
                                       (x,y,z,w)=(?,?,?,?): solution not found 
                                       (x,y,z,w)=(*,*,*,*): has many solutions(proved by Elkies) 

                                       x4+y4+z4=nw4
nxyzw
1 * * * *
2 8 5 3 7
2 15 8 7 13
2 21 16 5 19
2 35 24 11 31
2 40 33 7 37
2 48 35 13 43
2 55 39 16 49
2 65 56 9 61
2 77 45 32 67
2 80 63 17 73
2 91 51 40 79
2 96 85 11 91
2 99 80 19 91
2 112 57 55 97
2 117 77 40 103
2 119 95 24 109
2 133 120 13 127
2 143 120 23 133
2 153 88 65 133
2 160 91 69 139
2 168 143 25 157
2 171 115 56 151
2 176 161 15 169
2 187 112 75 163
2 207 175 32 193
2 209 105 104 181
2 221 165 56 199
2 224 195 29 211
2 225 208 17 217
2 247 160 87 217
2 253 168 85 223
2 255 224 31 241
2 264 145 119 229
2 275 203 72 247
2 280 187 93 247
2 280 261 19 271
2 285 221 64 259
2 299 155 144 259
2 312 217 95 277
2 319 279 40 301
2 323 288 35 307
2 325 192 133 283
2 341 320 21 331
2 345 209 136 301
2 352 247 105 313
2 360 323 37 343
2 377 272 105 337
2 391 280 111 349
2 403 315 88 367
2 408 385 23 397
2 416 231 185 361
2 425 273 152 373
2 435 259 176 379
2 437 357 80 403
2 440 399 41 421
2 448 333 115 403
2 455 407 48 433
2 465 304 161 409
2 475 352 123 427
2 481 456 25 469
2 483 440 43 463
2 493 253 240 427
2 504 299 205 439
2 520 391 129 469
2 525 437 88 487
2 527 287 240 457
2 544 369 175 481
2 551 336 215 481
2 555 451 104 511
2 560 533 27 547
2 575 528 47 553
2 576 301 275 499
2 589 325 264 511
2 595 387 208 523
2 608 473 135 553
2 609 425 184 541
2 615 559 56 589
2 616 475 141 559
2 624 575 49 601
2 629 440 189 559
2 645 616 29 631
2 651 416 235 571
2 665 368 297 577
2 667 520 147 607
2 680 351 329 589
2 697 552 145 637
2 703 423 280 613
2 704 459 245 619
2 713 513 200 637
2 720 517 203 643
2 725 621 104 679
2 728 675 53 703
2 731 611 120 679
2 736 705 31 721
2 760 441 319 661
2 775 616 159 709
2 777 400 377 673
2 779 539 240 691
2 783 728 55 757
2 792 637 155 727
2 799 735 64 769
2 805 493 312 703
2 816 551 265 721
2 817 600 217 733
2 832 667 165 763
2 833 800 33 817
2 837 725 112 787
2 851 480 371 739
2 861 520 341 751
2 880 477 403 763
2 893 728 165 823
2 899 840 59 871
2 903 583 320 793
2 912 527 385 793
2 920 689 231 829
2 925 589 336 811
2 931 795 136 871
2 936 901 35 919
2 943 495 448 817
2 945 713 232 853
2 952 775 177 877
2 960 899 61 931
2 987 715 272 883
2 989 560 429 859
2 999 704 295 889
3 ? ? ? ?
4 - - - -
5 - - - -
6 - - - -
7 - - - -
8 - - - -
9 - - - -
10 - - - -
11 - - - -
12 - - - -
13 - - - -
14 - - - -
15 - - - -
17 1066 765 758 583
17 2035 884 62 1011
17 2448 1610 533 1259
17 4751 1750 1224 2353
18 13 11 2 7
18 23 22 1 13
18 37 26 11 19
18 59 46 13 31
18 73 47 26 37
18 83 61 22 43
18 94 71 23 49
18 121 74 47 61
18 122 109 13 67
18 142 131 11 79
18 143 97 46 73
18 169 167 2 97
18 179 118 61 91
18 181 107 74 91
18 194 157 37 103
18 214 143 71 109
18 241 218 23 133
18 251 229 22 139
18 253 146 107 127
18 263 166 97 133
18 278 199 191 149
18 286 227 59 151
18 299 262 37 163
18 311 193 118 157
18 314 313 1 181
18 326 109 91 159
18 337 191 146 169
18 382 239 143 193
18 386 277 109 199
18 407 334 73 217
18 409 383 26 229
18 419 253 166 211
18 421 338 83 223
18 433 242 191 217
18 454 443 11 259
18 467 373 94 247
18 478 347 131 247
18 479 286 193 241
18 506 349 157 259
18 517 458 59 283
18 529 407 122 277
18 541 299 242 271
18 554 481 73 301
18 598 359 239 301
18 599 457 142 313
18 611 358 253 307
18 647 601 46 361
18 649 482 167 337
18 661 362 299 331
18 671 502 169 349
18 683 397 286 343
18 694 611 83 379
18 698 577 121 373
18 718 491 227 367
18 746 733 13 427
18 769 626 143 409
18 781 563 218 403
18 793 431 362 397
18 794 517 277 403
18 803 709 94 439
18 814 767 47 457
18 827 598 229 427
18 839 481 358 421
18 862 503 359 433
18 877 851 26 499
18 887 766 121 481
18 911 649 262 469
18 913 719 194 481
18 914 853 61 511
18 923 526 397 463
18 937 506 431 469
18 962 613 349 487
18 982 803 179 523
19 - - - -
20 - - - -
21 - - - -
22 - - - -
23 - - - -
24 - - - -
25 - - - -
26 - - - -
27 - - - -
28 - - - -
29 - - - -
30 - - - -
31 - - - -
33 7 4 2 3
34 - - - -
35 - - - -
36 - - - -
37 - - - -
38 - - - -
39 - - - -
40 - - - -
41 - - - -
42 - - - -
43 - - - -
44 - - - -
45 - - - -
46 - - - -
47 - - - -
49 - - - -
50 - - - -
51 ? ? ? ?
52 - - - -
53 - - - -
54 - - - -
55 - - - -
56 - - - -
57 - - - -
58 - - - -
59 - - - -
60 - - - -
61 - - - -
62 - - - -
63 - - - -
64 - - - -
65 - - - -
66 ? ? ? ?
67 ? ? ? ?
68 - - - -
69 - - - -
70 - - - -
71 - - - -
72 - - - -
73 - - - -
74 - - - -
75 - - - -
76 - - - -
77 - - - -
78 - - - -
79 - - - -
82 ? ? ? ?
83 79 47 23 27
84 - - - -
85 - - - -
86 - - - -
87 - - - -
88 - - - -
89 - - - -
90 - - - -
91 - - - -
92 - - - -
93 - - - -
94 - - - -
95 - - - -
97 ? ? ? ?
98 3 2 1 1
98 19 18 1 7
98 37 31 6 13
98 38 29 9 13
98 53 47 6 19
98 58 31 27 19
98 83 81 2 31
98 94 57 37 31
98 106 87 19 37
98 113 59 54 37
98 118 109 9 43
98 131 74 57 43
98 149 87 62 49
98 177 139 38 61
98 186 103 83 61
98 186 167 19 67
98 199 141 58 67
98 206 177 29 73
98 222 193 29 79
98 223 114 109 73
98 233 171 62 79
98 274 271 3 103
98 277 159 118 91
98 278 141 137 91
98 279 226 53 97
98 281 222 59 97
98 309 262 47 109
98 311 197 114 103
98 333 167 166 109
98 373 279 94 127
98 383 309 74 133
98 386 227 159 127
98 389 342 47 139
98 394 283 111 133
98 401 398 3 151
98 411 298 113 139
98 449 411 38 163
98 454 361 93 157
98 457 283 174 151
98 479 261 218 157
98 486 337 149 163
98 491 254 137 159
98 498 367 131 169
98 513 307 206 169
98 522 419 103 181
98 523 417 106 181
98 551 498 53 199
98 557 446 111 193
98 589 318 271 193
98 591 589 2 223
98 607 333 274 199
98 614 477 137 211
98 641 467 174 217
98 643 361 282 211
98 647 554 93 229
98 654 421 233 217
98 654 653 1 247
98 673 502 171 229
98 674 423 251 223
98 681 622 59 247
98 703 541 162 241
98 727 634 93 259
98 734 417 317 241
98 746 719 27 277
98 747 466 281 247
98 753 419 334 247
98 753 587 166 259
98 761 414 53 247
98 778 319 19 249
98 783 709 74 283
98 802 579 223 271
98 821 503 318 271
98 841 502 339 277
98 842 591 251 283
98 846 809 37 313
98 877 678 199 301
98 899 617 282 301
98 899 681 218 307
98 921 859 62 337
98 934 541 393 307
98 951 562 389 313
98 951 893 58 349
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