dioph4

１．はじめに

その昔オイラーは、A⁴+B⁴+C⁴=D⁴には整数解が無いと予想しました。
長い間その様に信じられてきましたが、１９８７年にElkiesによって次の様な反例が発見されました。

       2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴=20615673⁴ (1. Elkies)

その後、Fryeによって最小解が発見されました。(2. Frye)

　　　 95800⁴+217519⁴+414560⁴=422481⁴

１９９７年にMacLeod により,その当時では３番目に小さい解が見つけられました。

       630662624⁴+ 275156240⁴+ 219076465⁴=638523249⁴

Bernsteinは次の様にいくつかの解を見つけました。(3. Bernstein)

       1390400⁴+2767624⁴+673865⁴=2813001⁴

       5507880⁴+8332208⁴+1705575⁴=8707481⁴

       5870000⁴+11289040⁴+8282543⁴=12197457⁴ 

       等々D<2.1*10^7の範囲で７個の解が見つかりました。


1. Noam D Elkies: On A⁴+B⁴+C⁴=D⁴,Mathematics of Computation,Oct.1988
2. Roger E. Frye: Finding  95800⁴+217519⁴+414560⁴=422481⁴ on the Connection Machine
3. Daniel J. Bernstein: ENUMERATING SOLUTION TO p(a)+q(b)=r(c)+s(d)



Elkiesの方法によって、いくつか解を見つけてみたいと思います。

2.A⁴+B⁴+C⁴=D⁴の解の調査方法
    
　　　　r⁴+s⁴+t⁴=1の有理数解を求めるのと同じ事なので、次の様になります。
        m,n,は整数,　x,y,r,s,tは有理数。
      　r=x+y,s=x-y

        (2m²+n²)y²=-(6m²-8mn+3n²)x²-2(2m²-n²)x-2mn................ (1) 

        (2m²+n²)t²=4(2m²-n²)x²+8mnx+(n²-2m²)...................... (2)
        
　　　　１．適当な(m,n)を選んで(1)式の有理数解(x,y)を求める。
　　　　２．有理数解(x,y)をパラメータ化する。
　　　　３．パラメータ化した有理数解xを、(2)式に代入する（4次の楕円曲線になる）。
　　　　４．4次の楕円曲線の有理数解を求める。
　　　　５．求められた有理数解を逆変換して(r,s,t)を求める。



       
3.調査結果

１．95800⁴+217519⁴+414560⁴=422481⁴を求める。

　　この解は既にFryeが見つけていますが、彼はElkiesとは違う方法で行っているので、ここでは
　　Elkiesの方法で理論的に解を導いてみたいと思います。
　　Elkiesも指摘しているように、(m,n)=(20,-9)から求められます。
　　(1)式と(2)式に(m,n)=(20,-9)を代入すれば

　　　　　881y² = -4083x²-1438x+360........................... (3)

　　　　　881t² = 2876x²-1440x-719............................ (4)

   (3)式の有理数解を求めると(x,y)=(49/318,23/106)となって、パラメータ化すると

　　      x=1/318(43169*k²-657351-121578k)/(881k²+4083)....... (5)

          y=-1/106(20263*k²-93909+285806k)/(881k²+4083)....... (6)

   (5)式を(4)式に代入して整理すると、次の様になります。
        
         Y²=19435071440k⁴-5351620404k³+130338882000k²-194951575764k-357457601448.... (7)
         Y=t(140079k²+649197)

   (7)式の有理数解を求めるとk=-59/81,Y=2444043484/6561となる。

　　k=-59/81を(5),(6)式に代入すれば,x=-159380/422481,y=85060/140827となる。

    r=x+y=-159380/422481+85060/140827=95800/422481
    
    s=x-y=-159380/422481-85060/140827=-414560/422481

    t(140079k²+649197)=2444043484/6561より、
   
    t=217519/422481

    すなわち、(95800/422481)⁴+(-414560/422481)⁴+(217519/422481)⁴=1　なので

　　95800⁴+217519⁴+414560⁴=422481⁴　となります。


２．630662624⁴+ 275156240⁴+ 219076465⁴=638523249⁴を求める。

    この解はMacLeodが既に見つけていますが、ここでは前の解と同様にElkiesの方法で求めてみます。
    (m,n)=(8,-5)とすると

　　153y²=-779x²-206x+80
    153t²=412x²-320x-103

    パラメータ化すると

    x=(51k²-34k-5221)/(14(17k²+779))............................................ (8)
    y=(17k²+7558k-779)/(42(17k²+779))........................................... (9)

    Y=-31790X⁴+36941X³-56158X²+28849X+22030.................................... (10)
    X=(k+2)/7

    (10)式の有理数解を求めるとX=-3015/9707となる。
    k=-3015/9707*7-2を(8),(9)に代入すればx=-59251064/212841083,y=452909432/638523249となる。

　　r=x+y=-59251064/212841083+452909432/638523249=275156240/638523249

    s=x-y=-59251064/212841083-452909432/638523249=-630662624/638523249

    t=219076465/638523249
    結局

    630662624⁴+ 275156240⁴+ 219076465⁴=638523249⁴


３．582665296⁴+ 260052385⁴+ 186668000⁴=589845921⁴を求める。

　　この解は私が見つけました。
　　(10)式で新たに有理数解X=18247/19530が見つかったので、これをもとにして同様に計算すると

　　k=18247/19530*7-2だから、x=-107537637/393230614,y=-842717681/1179691842

    r=x+y=-107537637/393230614-842717681/1179691842=-582665296/589845921
    s=x-y=-107537637/393230614+842717681/1179691842=260052385/589845921
    t=186668000/589845921
    結局

    582665296⁴+ 260052385⁴+ 186668000⁴=589845921⁴


４．1677479490238223823661446513⁴=169218021322170204480680305⁴
                                +1507524066882038472584786800⁴
                                +1288056982586427591062203384⁴

    この解も私が見つけました。
　　実は、このような大きな解は幾らでも作ることができます。
　　Elkiesが証明しているように(10)式の有理数解は無数に存在するからです。
　　今(10)式の解として3点：P(-31/467,30731278/467^2),Q(-3015/9707,438152930/5542697),
    R(18247/19530,292135420/3814209)が解かっているわけなので
　　3点P,Q,Rを通って(10)式の楕円曲線と交わる第４の点:Sを求めれば、点Sは有理点のはずです。
　　何故なら、方程式の根と係数の関係によって3点P,Q,Rが有理点なので残りの第４の点:Sは
　　自動的に有理数となり、有理点になるからです。

　　3点P,Q,Rを通る曲線を求めてみると、次の様になります。

　　Y=-12884004827215/50505407906X²+15872118910607/101010815812X+15400754666545/101010815812

    この曲線と(10)式の楕円曲線との交点をもとめると、X=99656645595927/152926786974106 となる。

    k=99656645595927/152926786974106*7-2だから,
    x=-446102015186622756034702165/1118319660158815882440964342
    y=1676742088204208677065467105/3354958980476447647322893026

    r=x+y=169218021322170204480680305/1677479490238223823661446513
    s=x-y=-1507524066882038472584786800/1677479490238223823661446513

    結果として

    1677479490238223823661446513⁴=169218021322170204480680305⁴
                                 +1507524066882038472584786800⁴
                                 +1288056982586427591062203384⁴


5．1670617271⁴+ 632671960⁴+ 50237800⁴=1679142729⁴を求める。

    この解は私が見つけました。
    (m,n)=(20,-9)の時に(1),(2)の複方程式を解いてまとめると、ｋに関する４次方程式になる。

    Y^2=-19956651632*k^4+49953492900*k^3+8463446784*k^2+566201542500*k+91714580856
    有理数解を求めるとk=-457/2836となり

    x=-1037945311/3358285458
    y=767763077/1119428486
    r=x+y=632671960/1679142729
    s=x-y=-1670617271/1679142729

    すなわち
　　1670617271⁴+ 632671960⁴+50237800⁴=1679142729⁴


6．22495595284040⁴+7592431981391⁴+27239791692640⁴=29999857938609⁴を求める。

    この解は私が見つけました。
    (m,n)=(20,-9)の時に(1),(2)の複方程式を解いてまとめると、ｋに関する４次方程式になる。

    Y^2=-19956651632*k^4+49953492900*k^3+8463446784*k^2+566201542500*k+91714580856
    有理数解を求めるとk=9319/12137となり

    x=-30088027265431/59999715877218

    y=4967721100883/19999905292406

    r=x+y=-7592431981391/29999857938609

    s=x-y=-22495595284040/29999857938609

    すなわち
      22495595284040⁴+7592431981391⁴+27239791692640⁴=29999857938609⁴
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