１．はじめに

９ｎ+4、９ｎ-4以外の全ての整数は４個の３乗数の和で表されることは、Demjanenkoによって
証明されています。（１．Demjanenko）
その証明の中で次のような面白い恒等式が使われていました。
 
     18x+1=(2x+14)3+(-2x-23)3+(-3x-26)3+(3x+30)3
     18x+7=(x+2)3+(6x-1)3+(8x-2)3+(-9x+2)3
     18x+8=(x-5)3+(-x+14)3+(-3x+29)3+(3x-30)3

     54x+2=(29484x2+2211x+43)3+(-29484x2-2157x-41)3+(9828x2+485x+4)3+(-9828x2-971x-22)3

    54x+20=(3x-11)3+(-3x+10)3+(x+2)3+(-x+7)3

   216x-16=(14742x2-2157x+82)3+(-14742x2+2211x-86)3+(4914x2-971x+44)3+(-4914x2+485x-8)3

   216x+92=(3x-164)3+(-3x+160)3+(x-35)3+(-x+71)3


当然、同じ様な恒等式が他に有るか調べてみる事にしました。






１．Demjanenko：http://www.math.u-bordeaux1.fr/~cohen/sum4cub.ps


2.恒等式の調査方法（１次式の場合）
    
      p,q,a,b,c,d,A,B を整数とする時

　　    (a-c)p2=(d-b)q2の関係式が成立すれば

　　　 (px+a)3+(qx+b)3-(px+c)3-(qx+d)3=Ax+B
　　　　となる。

        但し、 A=3qb2+3pa2-3qd2-3pc2,B=a3+b3-c3-d3






証明


　　　 (px+a)3+(qx+b)3-(px+c)3-(qx+d)3 ................................................ (1)

      とおいて展開してまとめると


　　　(3p2a-3q2d-3p2c+3q2b)x2+(3qb2+3pa2-3qd2-3pc2)x+a3+b3-c3-d3...... (2)
　　　となる。

      ところが条件により、 (a-c)p2=(d-b)q2であるからx2の係数が０となって 

      (3qb2+3pa2-3qd2-3pc2)x+a3+b3-c3-d3　となる。

　　　すなわち

　　　 (px+a)3+(qx+b)3-(px+c)3-(qx+d)3=(3qb2+3pa2-3qd2-3pc2)x+a3+b3-c3-d3　

　　　となる。



  
                  
       
3.調査結果

　　　(px+a)3+(qx+b)3-(px+c)3-(qx+d)3=Ax+B

        p,q<100
        a,b,c,d<1000
　　 　 |A|<1000
        |B|<100
        |A|>|B|
        gcd(3,B)=1
        上記条件で調査して次のような結果が得られた。
　      たくさん有るので１部分のみ示す。

        18x+1=(3x+30)3+(2x+14)3-(3x+26)3-(2x+23)3

        18x-8=(3x+30)3+(x+5)3-(3x+29)3-(x+14)3
        18x+10=(3x+33)3+(x+6)3-(3x+32)3-(x+15)3
        18x-17=(3x+27)3+(2x+12)3-(3x+23)3-(2x+21)3

        36x+19=(6x+33)3+(4x+16)3-(6x+29)3-(4x+25)3
        36x+26=(3x+125)3+(x+32)3-(3x+123)3-(x+50)3
        36x+28=(3x+19)3+(x+1)3-(3x+18)3-(x+10)3
        36x-35=(6x+24)3+(4x+10)3-(6x+20)3-(4x+19)3
        36x+35=(4x+102)3+(3x+65)3-(4x+93)3-(3x+81)3
        36x-1=(4x+98)3+(3x+62)3-(4x+89)3-(3x+78)3
        36x-10=(3x+122)3+(x+31)3-(3x+120)3-(x+49)3

        54x-11=(3x+11)3+(2x+1)3-(3x+7)3-(2x+10)3
        54x+20=-(3x-10)3-(x-7)3+(3x-11)3+(x+2)3
        54x-26=(9x+27)3+(3x+4)3-(9x+26)3-(3x+13)3
        54x+28=(9x+36)3+(3x+7)3-(9x+35)3-(3x+16)3
        54x-34=-(3x-13)3-(x-8)3+(3x-14)3+(x+1)3
        54x-35=(9x+24)3+(6x+10)3-(9x+20)3-(6x+19)3
        54x+37=(9x+36)3+(6x+18)3-(9x+32)3-(6x+27)3
        54x+43=(3x+14)3+(2x+3)3-(3x+10)3-(2x+12)3
        54x-44=(9x+24)3+(3x+3)3-(9x+23)3-(3x+12)3
        54x+46=(9x+39)3+(3x+8)3-(9x+38)3-(3x+17)3
        54x-53=(9x+21)3+(6x+8)3-(9x+17)3-(6x+17)3

        108x+2=(3x+43)3+(x+4)3-(3x+41)3-(x+22)3
        108x+29=(4x+37)3+(3x+16)3-(4x+28)3-(3x+32)3

        378x+7=(6x+191)3+(x+12)3-(6x+190)3-(x+48)3
        378x+7=(3x+467)3+(2x+270)3-(3x+439)3-(2x+333)3
        432x+16=(3x+86)3+(x+8)3-(3x+82)3-(x+44)3