dioph22e

1.Introduction

Ramanujan obtained the parameter solution of x³+y³+z³=w³ as follows.  

    x=3a²+5ab-5b², y=4a²-4ab+6b², z=5a²-5ab-3b², w=6a²-4ab+4b²

This time, I searched for the parameter solution of the equation which generalized x³+y³+z³=w³.

I proved that there were always infinitely many parameter solutions of A₁³+A₂³+A₃³+...+A_n-1³=A_n³.



2.Theorem
      
     
    
    n:integer

　　If n > 2, there are always infinitely many parameter solutions of A₁³+A₂³+A₃³+...+A_n-1³=A_n³.

    Condition
    If n > 2,there is always a solution of a₁³+a₂³+a₃³+...+a_n-1³=a_n³.

     
Proof.

a₁,a₂,...,a_n:integer
c₁,c₂,...,c_n:integer
n,k:integer


Let k=[n/2]

Case n=even number

(a₁x+c₁)³+(a₂x-c₁)³+(a₃x+c₂)³+...+(a_n-2x+c_k-1)³+(a_n-1x+c_k)³=(a_nx+c_k)³

Case n=odd number

(a₁x+c₁)³+(a₂x-c₁)³+(a₃x+c₂)³+...+(a_n-2x+c_k)³+(a_n-1x-c_k)³=(a_nx)³...(1)


For example

Case n=5

k=[n/2]=2    

(a₁x+c₁)³+(a₂x-c₁)³+(a₃x+c₂)³+(a₄x-c₂)³-(a₅x)³...................(2)     


Case n=6

k=[n/2]=3     

(a₁x+c₁)³+(a₂x-c₁)³+(a₃x+c₂)³+(a₄x-c₂)³+(a₅x+c₃)³-(a₆x+c₃)³......(3)     




Expanding and simplifying (1),we obtain
f=f₂x²+f₁x
f_i:coefficient of xⁱ


First,solve f₂x²+f₁x=0 for x,and obtain
     x=-f₁/f₂..................................................(4)  
            

Substitute (4) to (1),and obtain a parameter solution.
       
Moreover, because we can obtain the (a₁,a₂,...,a_n) infinitely by one parameter solution,
there are infinitely many parameter solutions. 
       
Q.E.D.　
 
　　                  
       
3.Example

I show a few examples.

    
Case n=5
  
     Expanding and simplifying (2),we obtain
     A₁=(a₂²+a₂a₁)c₁²+(a₄²-a₃²)c₂c₁+(a₃a₁+a₄a₁)c₂²
     A₂=(a₁²+a₂a₁)c₁²+(a₃²-a₄²)c₂c₁+(a₂a₃+a₂a₄)c₂²
     A₃=(a₂a₃+a₃a₁)c₁²+(a₂²-a₁²)c₂c₁+(a₄²+a₃a₄)c₂²
     A₄=(a₄a₁+a₂a₄)c₁²+(-a₂²+a₁²)c₂c₁+(a₃a₄+a₃²)c₂²
     A₅=(a₂+a₁)a₅c₁²+(a₃+a₄)a₅c₂²

     Let substitute a₁=5,a₂=7,a₃=9,a₄=10,a₅=13 to above equation,and obtain
          

     A₁=95c₂²+84c₁²+19c₂c₁
     A₂=133c₂²+60c₁²-19c₂c₁
     A₃=108c₁²+190c₂²+24c₂c₁
     A₄=171c₂²+120c₁²-24c₂c₁
     A₅=247c₂²+156c₁²

       c₁, c₂

     (  1, -5) 2364³+ 3480³+ 4738³+ 4515³= 6331³
     (  1, -4)  382³+  566³+  763³+  738³= 1027³
     (  1, -3)  294³+  438³+  582³+  577³=  793³
     (  1, -2)  213³+  315³+  410³+  426³=  572³
     (  1, -1)  160³+  212³+  274³+  315³=  403³
     (  1,  1)  198³+  174³+  322³+  267³=  403³
     (  1,  2)  251³+  277³+  458³+  378³=  572³
     (  1,  3)  332³+  400³+  630³+  529³=  793³
     (  1,  4)  420³+  528³+  811³+  690³= 1027³
     (  1,  5) 2554³+ 3290³+ 4978³+ 4275³= 6331³
     (  2, -5) 2521³+ 3755³+ 4942³+ 4995³= 6799³
     (  2, -4)  213³+  315³+  410³+  426³=  572³
     (  2, -3)  359³+  517³+  666³+  721³=  949³
     (  2, -2)  160³+  212³+  274³+  315³=  403³
     (  2, -1)  393³+  411³+  574³+  699³=  871³
     (  2,  1)    7³+    5³+   10³+    9³=   13³
     (  2,  2)  198³+  174³+  322³+  267³=  403³
     (  2,  3)  435³+  441³+  762³+  625³=  949³
     (  2,  4)  251³+  277³+  458³+  378³=  572³
     (  2,  5) 2901³+ 3375³+ 5422³+ 4515³= 6799³
     (  3, -5) 2846³+ 4150³+ 5362³+ 5715³= 7579³
     (  3, -4)  512³+  724³+  931³+ 1026³= 1339³
     (  3, -3)  160³+  212³+  274³+  315³=  403³
     (  3, -2)  511³+  593³+  794³+  954³= 1196³
     (  3, -1)  794³+  730³+ 1090³+ 1323³= 1651³
     (  3,  1)  908³+  616³+ 1234³+ 1179³= 1651³
     (  3,  2)  625³+  479³+  938³+  810³= 1196³
     (  3,  3)  198³+  174³+  322³+  267³=  403³
     (  3,  4)  626³+  610³+ 1075³+  882³= 1339³
     (  3,  5) 3416³+ 3580³+ 6082³+ 4995³= 7579³
     (  4, -5) 3339³+ 4665³+ 5998³+ 6675³= 8671³
     (  4, -4)  160³+  212³+  274³+  315³=  403³
     (  4, -3)  657³+  795³+ 1050³+ 1249³= 1573³
     (  4, -2)  393³+  411³+  574³+  699³=  871³
     (  4, -1) 1363³+ 1169³+ 1822³+ 2187³= 2743³
     (  4,  1) 1515³+ 1017³+ 2014³+ 1995³= 2743³
     (  4,  2)    7³+    5³+   10³+    9³=   13³
     (  4,  3)  809³+  643³+ 1242³+ 1057³= 1573³
     (  4,  4)  198³+  174³+  322³+  267³=  403³
     (  4,  5) 4099³+ 3905³+ 6958³+ 5715³= 8671³
     (  5, -5)  160³+  212³+  274³+  315³=  403³
     (  5, -4)  810³+ 1002³+ 1315³+ 1554³= 1963³
     (  5, -3)  890³+  994³+ 1350³+ 1633³= 2041³
     (  5, -2) 1145³+ 1111³+ 1610³+ 1962³= 2444³
     (  5, -1) 2100³+ 1728³+ 2770³+ 3291³= 4147³
     (  5,  1) 2290³+ 1538³+ 3010³+ 3051³= 4147³
     (  5,  2) 1335³+  921³+ 1850³+ 1722³= 2444³
     (  5,  3) 1080³+  804³+ 1590³+ 1393³= 2041³
     (  5,  4) 1000³+  812³+ 1555³+ 1314³= 1963³
     (  5,  5)  198³+  174³+  322³+  267³=  403³


     A₁,A₂,A₃,A₄,A₅ are divided by gcd(A₁,A₂,A₃,A₄,A₅).

     A₅ has same value at (c₁,c₂)=(1,1) and (1,-1),(3,1) and (3,-1),(4,1) and (4,-1),(5,1) and (5,-1).

     If we use one of the above solutions, we can get a new parameter solution.
     We repeat it to be the same, then we can get the parameter solutions in the infinity.

     Let substitute a₁=174,a₂=198,a₃=267,a₄=322,a₅=403 to above equation,and obtain a new parameter.
          

     A₁=94240c₂²+78864c₁²+24149c₂c₁
     A₂=124868c₂²+59520c₁²-24149c₂c₁
     A₃=101928c₁²+185535c₂²+19344c₂c₁
     A₄=161386c₂²+117180c₁²-19344c₂c₁
     A₅=237367c₂²+149916c₁²


       c₁, c₂
     (  1, -5) 74649³+106515³+149793³+137050³=196261³ 
     (  1, -4) 12017³+ 17371³+ 24138³+ 22393³= 31837³
     (  1, -3)  9189³+ 13503³+ 18427³+ 17502³= 24583³
     (  1, -2)  6573³+  9795³+ 12990³+ 12926³= 17732³
     (  1, -1)     5³+     7³+     9³+    10³=    13³
     (  1,  1)  6363³+  5169³+  9897³+  8362³= 12493³
     (  1,  2)  8131³+  8237³+ 14238³+ 11678³= 17732³
     (  1,  3) 10747³+ 11945³+ 19675³+ 16254³= 24583³
     (  1,  4) 13575³+ 15813³+ 25386³+ 21145³= 31837³
     (  1,  5) 82439³+ 98725³+156033³+130810³=196261³
     (  2, -5) 78386³+116170³+156537³+151510³=210769³
     (  2, -4)  6573³+  9795³+ 12990³+ 12926³= 17732³
     (  2, -3) 10954³+ 16202³+ 21091³+ 21906³= 29419³
     (  2, -2)     5³+     7³+     9³+    10³=    13³
     (  2, -1)   174³+   198³+   267³+   322³=   403³
     (  2,  1) 14774³+ 10150³+ 20385³+ 19078³= 27001³
     (  2,  2)  6363³+  5169³+  9897³+  8362³= 12493³
     (  2,  3) 14070³+ 13086³+ 23587³+ 19410³= 29419³
     (  2,  4)  8131³+  8237³+ 14238³+ 11678³= 17732³
     (  2,  5) 93966³+100590³+169017³+139030³=210769³
     (  3, -5) 87211³+129665³+169857³+173530³=234949³
     (  3, -4) 15547³+ 22769³+ 29466³+ 31201³= 41509³
     (  3, -3)     5³+     7³+     9³+    10³=    13³
     (  3, -2) 15191³+ 19033³+ 24894³+ 29294³= 37076³
     (  3, -1) 23599³+ 23645³+ 33705³+ 41098³= 51181³
     (  3,  1) 28273³+ 18971³+ 37449³+ 37354³= 51181³
     (  3,  2) 19865³+ 14359³+ 28638³+ 25550³= 37076³
     (  3,  3)  6363³+  5169³+  9897³+  8362³= 12493³
     (  3,  4) 20221³+ 18095³+ 33210³+ 27457³= 41509³
     (  3,  5)110581³+106295³+188577³+154810³=234949³
     (  4, -5)101124³+147000³+189753³+203110³=268801³
     (  4, -4)     5³+     7³+     9³+    10³=    13³
     (  4, -3) 19572³+ 25440³+ 32995³+ 38274³= 48763³
     (  4, -2)   174³+   198³+   267³+   322³=   403³
     (  4, -1) 40628³+ 37864³+ 56097³+ 68182³= 85033³
     (  4,  1) 46860³+ 31632³+ 61089³+ 63190³= 85033³
     (  4,  2) 14774³+ 10150³+ 20385³+ 19078³= 27001³
     (  4,  3) 25804³+ 19208³+ 37987³+ 33282³= 48763³
     (  4,  4)  6363³+  5169³+  9897³+  8362³= 12493³
     (  4,  5)132284³+115840³+214713³+178150³=268801³
     (  5, -5)     5³+     7³+     9³+    10³=    13³
     (  5, -4) 24165³+ 32007³+ 41370³+ 47569³= 60853³
     (  5, -3) 26425³+ 31979³+ 42235³+ 50238³= 63271³
     (  5, -2) 33985³+ 35951³+ 49950³+ 60782³= 75764³
     (  5, -1) 62745³+ 55923³+ 85065³+102826³=128557³
     (  5,  1) 70535³+ 48133³+ 91305³+ 96586³=128557³
     (  5,  2) 41775³+ 28161³+ 56190³+ 54542³= 75764³
     (  5,  3) 34215³+ 24189³+ 48475³+ 43998³= 63271³
     (  5,  4) 31955³+ 24217³+ 47610³+ 41329³= 60853³
     (  5,  5)  6363³+  5169³+  9897³+  8362³= 12493³




Case n=6

     Expanding and simplifying (3),we obtain
     A₁=(-a₁a₂-a₂²)c₁²+((-a₄²+a₃²)c₂+(-a₆²+a₅²)c₃)c₁+(-a₁a₄-a₁a₃)c₂²+(a₁a₆-a₁a₅)c₃²

     A₂=(-a₁a₂-a₁²)c₁²+((a₄²-a₃²)c₂+(a₆²-a₅²)c₃)c₁+(-a₂a₄-a₂a₃)c₂²+(a₆a₂-a₅a₂)c₃²

     A₃=(-a₁a₃-a₂a₃)c₁²+(-a₂²+a₁²)c₂c₁+(-a₃a₄-a₄²)c₂²+(-a₆²+a₅²)c₃c₂+(a₃a₆-a₃a₅)c₃²

     A₄=(-a₁a₄-a₂a₄)c₁²+(-a₁²+a₂²)c₂c₁+(-a₃a₄-a₃²)c₂²+(a₆²-a₅²)c₃c₂+(a₆a₄-a₅a₄)c₃²

     A₅=(-a₅a₂-a₁a₅)c₁²+(-a₂²+a₁²)c₃c₁+(-a₅a₄-a₃a₅)c₂²+(-a₄²+a₃²)c₃c₂+(a₅a6-a₆²)c₃²

     A₆=(-a₆a₂-a₁a₆)c₁²+(-a₂²+a₁²)c₃c₁+(-a₆a₄-a₃a₆)c₂²+(-a₄²+a₃²)c₃c₂+(-a₅a₆+a₅²)c₃²

     Let substitute a₁=1,a₂=3,a₃=4,a₄=5,a₅=8,a₆=9 to above equation,and obtain

     A₁=c₃²-9c₂²-12c₁²-9c₂c₁-17c₃c₁
     A₂=3c₃²-4c₁²-27c₂²+9c₂c₁+17c₃c₁
     A₃=4c₃²-16c₁²-45c₂²-17c₃c₂-8c₂c₁
     A₄=5c₃²-20c₁²-36c₂²+17c₃c₂+8c₂c₁
     A₅=-9c₃²-32c₁²-72c₂²-9c₃c₂-8c₃c₁
     A₆=-8c₃²-36c₁²-81c₂²-9c₃c₂-8c₃c₁


       c₁,c₂,c₃     

     ( 1, 1, -1)    1³+    3³+    4³+    5³+    8³=    9³ 
     ( 1, 1,  1)   23³+    1³+   41³+   13³+   65³=   71³
     ( 1, 2, -3)    6³+  118³+   74³+  205³+  323³=  354³
     ( 1, 2, -2)    7³+   29³+   32³+   49³+   76³=   85³
     ( 1, 2, -1)   16³+   36³+   58³+   59³+  101³=  114³
     ( 1, 2,  1)   82³+   74³+  242³+  109³+  355³=  394³
     ( 1, 2,  2)    8³+    4³+   22³+    5³+   34³=   37³
     ( 1, 2,  3)  108³+   16³+  278³+    1³+  479³=  510³
     ( 1, 3, -3)   15³+   61³+   64³+  107³+  164³=  183³
     ( 1, 3, -2)   82³+  242³+  327³+  402³+  646³=  727³
     ( 1, 3, -1)   17³+   39³+   65³+   61³+  109³=  123³
     ( 1, 3,  1)   34³+   50³+  123³+   66³+  181³=  202³
     ( 1, 3,  2)   50³+   58³+  177³+   66³+  262³=  289³
     ( 1, 3,  3)   81³+   71³+  281³+   61³+  433³=  471³
     ( 2, 1, -2)    1³+   27³+   25³+   38³+   62³=   69³
     ( 2, 1, -1)    5³+    7³+   13³+   14³+   23³=   26³
     ( 2, 2, -3)    9³+  163³+  138³+  249³+  395³=  438³
     ( 2, 2, -2)    1³+    3³+    4³+    5³+    8³=    9³
     ( 2, 2, -1)    5³+    7³+   14³+   13³+   23³=   26³
     ( 2, 2,  1)    3³+    1³+    6³+    3³+    9³=   10³
     ( 2, 2,  2)   23³+    1³+   41³+   13³+   65³=   71³
     ( 2, 3, -3)    9³+   35³+   41³+   58³+   91³=  102³
     ( 2, 3, -2)   37³+   87³+  133³+  146³+  242³=  273³
     ( 2, 3, -1)   74³+  118³+  231³+  201³+  371³=  419³
     ( 2, 3,  1)   18³+   14³+   47³+   25³+   69³=   77³
     ( 2, 3,  2)  247³+  125³+  603³+  234³+  898³=  991³
     ( 2, 3,  3)  138³+   38³+  317³+   79³+  493³=  537³
     ( 3, 1, -2)   38³+  126³+  163³+  206³+  330³=  371³
     ( 3, 1, -1)   23³+   21³+   48³+   51³+   84³=   95³
     ( 3, 2, -3)    4³+   24³+   26³+   37³+   59³=   66³
     ( 3, 2, -2)   23³+   45³+   72³+   81³+  132³=  149³
     ( 3, 2, -1)  146³+  138³+  334³+  305³+  543³=  614³
     ( 3, 2,  1)  248³+   36³+  402³+  237³+  627³=  698³
     ( 3, 3, -3)    1³+    3³+    4³+    5³+    8³=    9³
     ( 3, 3, -2)  164³+  288³+  503³+  514³+  870³=  983³
     ( 3, 3, -1)  109³+  123³+  283³+  239³+  447³=  505³
     ( 3, 3,  1)   80³+   36³+  167³+   94³+  249³=  278³
     ( 3, 3,  2)  368³+   84³+  707³+  310³+ 1074³= 1187³
     ( 3, 3,  3)   23³+    1³+   41³+   13³+   65³=   71³
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