１．はじめに

前回に続いてDiophantus方程式の話をします。
最近Mordellの本を読んでいたら、Pell方程式の応用として面白い定理があったので
紹介したいと思います。(1. Mordell)
　　　　　
 
1. Mordell:  Diophantine Equation



2.定理
    
             x,y,z,wを整数とする時

　　　      x3+y3+z3+w3=nの整数解は、無数に存在する。

             但し、次の条件を満足していれば。

条件
　　１．解　(a,b,c,d)が１つ有る事。

　　２．-(a+b)(c+d)>0　で平方数でなく、a≠b,c≠dで有る事。

　　
　証明

　　x=a+X,y=b-X,z=c+Y,w=d-Yとおいて式を整理すると

　　(a+b)X2+(a2-b2)X+(c+d)Y2+(c2-d2)Y=0

　　(a+b)(X+(a-b)/2)2+(c+d)(Y+(c-d)/2)2-(a+b)(a-b)2/4-(c+d)(c-d)2/4=0

　　Gaussが２元２次の不定方程式の解が無数に存在する条件を、次の様に与えています。　

　　D=-(a+b)(c+d), (a+b)(a-b)2+(c+d)(c-d)2≠0

　　上記方程式に解が無数に有る為には、D>0でなければいけないので-(a+b)(c+d)>0となる。




       
3.例題

　　　理論だけだと面白くないので、実際に解を求めてみることにします。

      例題１　　x3+y3+z3+w3=13  の解を求める。

     　　　　　　まず、解の１つを求めてみると(x,y,z,w)=(10,7,-11,1)であることがわかります。
　　　　　　　　次に、式を変換します。
　　　　　　　　(34X+51)^2-680(Y-6)^2=-21879
                 m=34X+51,n=Y-6............................................................(1)
　　　　　　　　とすれば
　　　　　　　   m^2-680n^2=-21879.........................................................(2)
　　　　　　　　となる。　

　              (2)の一般解は(2)の解の１つとA^2-680B^2=1の解から求める事ができる。

　　　　　　　　一般解: (1005261+38550sqrt(680))(339+13sqrt(680))^h........................(3)

                m=1005261,n=38550だから,X=29565,Y=38556となる。

　　　　　　　　x=10+29565=29575,y=7-29565=-29558,z=-11+38556=38545,w=1-38556=-38555

                295753+(-29558)3+385453+(-38555)3=13
　　　　　　　　　　
                (3)で、h=1とすれば 681565479+52273686sqrt(170)となるので
                 X=20046042,Y=52273692

                 200460523+(-20046035)3+261368383+(-26136848)3=13

                 同様にして

                 135911879353       -135911879183+       177207409993      -177207410093=13

               92148053681323     -92148053681153+    120146362638643   -120146362638743=13

            62476244483998153  -62476244483997983+  81459056661621733 -81459056661621833=13

               いくらで続けられますが、無数にあるのでこの辺で止めておきます。