１．はじめに

今回はA4+B4+C4 = D4+E4のパラメータ解について説明したいと思います。
前回採りあげた　A4+B4+C4+D4 = E4+F4とは違うバリエーションが有る事に後になって気がつきました。
また、A4+B4 = C4+D4 についても同様なことが言えるのですが次回にまとめて述べたいと思います。


2.定理
      
      a,b　は整数とする。

　　　A4 + B4 + C4 = D4 + E4 のパラメータ解は存在する。


　　  　A=6ab8
        B=a(a8-4b8)
        C=b(a8-4b8+3a4b4)
        D=a(a8+2b8)
        E=b(a8-4b8-3a4b4)
       
 　


     
証明

x4+a4+(b+mx)4-(a+x)4-(b-mx)4................................(0)
=(8bm3-4a)x3-6a2x2+(8b3m-4a3)x



として、まずｘの係数を０にするようにmを決定する。
        m=a3/(2b3) となる。................................. (1)

次に、となる x をもとめると

       x=-3/2a2/(-2bm3+a) となる。.......................... (2)

(1)を(2)に代入すればx=6ab8/(a8-4b8)......................... (3)

(1),(3)を(0)に代入して整理すれば　　
 
　　　

(6ab8)4 + (a(a8-4b8))4 + (b(a8-4b8+3a4b4))4 = (a(a8+2b8))4 + (b(a8-4b8-3a4b4))4



　
                  
       
3.数値例

解は無数にあるのでいくらでも作れますが、a,b<=5 で既約解のみ示します。

    


          (a,b)=(2,1)       14 +      424 +      254 =      434 +      174
          (a,b)=(3,1)      184 +   196714 +    68004 =   196894 +    63144
          (a,b)=(3,2)    46084 +   166114 +   188504 =   212194 +    32984
          (a,b)=(4,1)       24 +   218444 +    55254 =   218464 +    53974
          (a,b)=(4,3)   393664 +   392924 +   761254 =   786584 +   171874
          (a,b)=(5,1)      104 +  6510354 +  1308324 =  6510454 +  1295824
          (a,b)=(5,2)    25604 +  6493354 +  2797344 =  6518954 +  2397344
          (a,b)=(5,3)  1968304 + 18219054 + 15487684 = 20187354 +  6375184
          (a,b)=(5,4)  6553604 +  2141354 +  8113084 =  8694954 +  4686924