１．はじめに

今回はA4+B4+C4+D4 = E4+F4のパラメータ解について説明したいと思います。
と言うのは、A4+B4 = C4+D4 の解を調べていたら、偶然にも上記のパラメータ解が見つかったからです！

きっかけは、Diophantus　の問題の解法を４次の場合に応用できないか、考えていた時でした。
つまり、Diophantus　は x3+y3=a3-b3 の問題を解く時に、x=a-mt,y=t-b と置いて、ｔについて解く
ことによりx,y を求めました。
そこで、x4+y4=a4+b4 の場合は、同じ様な事が出来るのか、出来ないのか？
結論から言うと、出来るのですが、副産物として冒頭にあげたA4+B4+C4+D4 = E4+F4のパラメータ解が
求めることが出来ました。



2.定理
      
      a,b　は整数とする。

　　　A4+B4+C4+D4 = E4+F4 のパラメータ解は存在する。


　　  　A=3b4a
        B=3a4b
        C=2(a4-b4)a
        D=2(a4-b4)b
        E=(2a4+b4)a
        F=(a4+2b4)b
 　


     
証明

x4+m4x4+a4+b4-(a+x)4-(b-mx)4................................(0)
=(-4a+4bm3)x3+(-6a2-6b2m2)x2+(-4a3+4b3m)x


として、まずｘの係数を０にするようにmを決定する。
        m=a3/b3 となる。................................... (1)

次に、(-4a+4bm3)x3+(-6a2-6b2m2)x2=0 となる x をもとめると

       x=-3/2(a2+b2m2)/(a-bm3) となる。.................... (2)

(1)を(2)に代入すればx=3/2b4a/(a4-b4)....................... (3)

(1),(3)を(0)に代入して整理すれば、次の様なパラメータ解が得られます。　　
 
　　　

(3b4a)4+ (3a4b)4+ (2(a4-b4)a)4+ (2(a4-b4)b)4= ((2a4+b4)a)4+ ((a4+2b4)b)4



　
                  
       
3.数値例

解は無数にあるのでいくらでも作れますが、a,b<=5 で既約解のみ示します。

    



          (a,b)=(2,1)    14 +    84 +   104 +    54 =   114 +    34
          (a,b)=(3,1)    94 +  2434 +  4804 +  1604 =  4894 +   834
          (a,b)=(3,2)   724 +  2434 +  1954 +  1304 =  2674 +  1134
          (a,b)=(4,1)    24 +  1284 +  3404 +   854 =  3424 +   434
          (a,b)=(4,3)  4864 + 11524 +  7004 +  5254 = 11864 +  6274
          (a,b)=(5,1)    54 +  6254 + 20804 +  4164 = 20854 +  2094
          (a,b)=(5,2)   404 +  6254 + 10154 +  4064 = 10554 +  2194
          (a,b)=(5,3) 12154 + 56254 + 54404 + 32644 = 66554 + 23614
          (a,b)=(5,4)  6404 + 12504 +  6154 +  4924 = 12554 +  7584