１．はじめに

x^3+y^3+z^3=d　のパラメータ解で現在解かっているのは、d=1,2　の場合だけです。

   (9t4)3＋(−9t4＋3t)3＋(−9t3＋１)3＝１ 

   (6t3＋１)3＋(−6t3＋１)3＋(−6t2)3＝２ 

おそらく、d=1,2　以外のパラメータ解は存在しないと思われます。
そこで、x^3+y^3+z^3+w^3=d　のパラメータ解はどうなっているのでしょうか。
早速調べてみました。

      
2.結果

x^3+y^3+z^3+w^3=d

|d|< 1000

         下記の恒等式では、線形変換等すれば同値な式が無数に存在するので１つだけ挙げます。


        (1).  (3*t^3+2)^3-(3*t^3+1)^3-(3*t^2)^3-(3*t)^3=7

         数値例を少しあげましょう。

              t
             10           3002^3 -           3001^3  -       300^3 -     30^3 = 7
            100        3000002^3 -    　  3000001^3  -     30000^3 -    300^3 = 7
           1000     3000000002^3 -   　3000000001^3  -   3000000^3 -   3000^3 = 7
          10000  3000000000002^3 -  3000000000001^3 -  300000000^3 -  30000^3 = 7

        この他にも次の様なものが見つかりました。
　　　　

        (2).  (t+9)^3-(t+1)^3+(2*t+9)^3-(2*t+11)^3=126


        (3).  (t+5)^3-(t-4)^3+(3*t+1)^3-(3*t+2)^3=182