１．はじめに
x3+y3+z3=w3の整数解は、昔から多く知られています。

　　　　　　3^3+4^3+5^3=6^3

            1^3+6^3+8^3=9^3

            7^3+14^3+17^3=20^3
　　　　　　　　　.
                  .
                  .
 
個々の数値解の他にパラメータ解もいくつか知られています。
例えば、インドの天才数学者のラマヌジャンはx3+y3+z3=w3のパラメータ解を次の様に求めました。

    x=3a^2+5ab-5b^2, y=4a^2-4ab+6b^2, z=5a^2-5ab-3b^2, w=6a^2-4ab+4b^2  (1. Hardy)

また他には

   x=7a^2-16ab-3b^2, y=14a^2+4ab+6b^2, z=-14a^2+4ab-6b^2, w=7a^2+16ab-3b^2  (2. Dickson)

   x=a^2-7ab+63b^2, y=8a^2-20ab-42b^2, z=6a^2+20ab-56b^2, w=9a^2-7ab+7b^2

等が知られています。

1. Hardy and Wright:  An introduction to the theory of numbers
2. Dickson:           History of the theory of numbers


最初は、ラマヌジャンが求めた解の形式のような解を他に求められないか研究したのですが、
オイラーの仕事を真似して、パラメータ解を無数に求めることが出来ることに気が付きました。
次の様な定理にまとめました。



2.定理
    
      x,y,z,wを整数とする時

　　　x3+y3+z3=w3の既約パラメータ解は無数に存在する。
　　
補題

　　　(a,b,p,q,r,s)は整数で、gcd(p,q,r,s)=1でp3+q3+r3=s3を満たすとする。

　　　x3+y3+z3=w3のパラメータ解は
　　　　　　　　            
　　　 　　x= (q2+pq)a2+(-r2+s2)ba+(pr-ps)b2

          y= (p2+pq)a2+(-s2+r2)ba+(qr-qs)b2

          z= (qr+pr)a2+(-p2+q2)ba+(s2-rs)b2

          w= (ps+qs)a2+(-p2+q2)ba+(rs-r2)b2

　　で与えられる。


証明


　　　(pt+a)^3+(qt-a)^3+(rt+b)^3-(st+b)^3=0 ................................................ (1)

      とおいて展開してまとめると


　　　(p^3-s^3+r^3+q^3)t^3+(-3q^2a+3p^2a-3s^2b+3r^2b)t^2+(3rb^2+3qa^2+3pa^2-3sb^2)t=0 ...... (2)
　　　となる。

      ところが条件により、p^3-s^3+r^3+q^3=0であるから 

      t=-(rb^2+qa^2+pa^2-sb^2)/(-q^2a+p^2a-s^2b+r^2b)　となる。

      x=pt+a, y=qt-a, z=rt+b, w=st+b とおけば

      　　x= (q^2+pq)a^2+(-r^2+s^2)ba+(pr-ps)b^2

          y= (p^2+pq)a^2+(-s^2+r^2)ba+(qr-qs)b^2

          z= (qr+pr)a^2+(-p^2+q^2)ba+(s^2-rs)b^2

          w= (ps+qs)a^2+(-p^2+q^2)ba+(rs-r^2)b^2

証明終わり

定理の証明

　　　ここで既約なパラメータ解とは、gcd(x,y,x,w)=1の解を言う。
　　　既約でない解は、既約な解に或る整数^3を両辺に掛ければ幾らでも出来てしまうので
　　　ここではトリビアルでない既約解を対象にする。
　　　解が既約でない場合は　gcd(x,y,x,w)　でx,y,z,w　を割って既約にする。
　　　

　　　補題により、p3+q3+r3=s3を満たす(p,q,r,s)が有れば、x3+y3+z3=w3のパラメータ解が
　　　得られる事がわかりました。
　　　ところで、p3+q3+r3=s3を満たす(p,q,r,s)はラマヌジャンが与えたパラメータ解から
　　　無数に得ることが出来るので、x3+y3+z3=w3のパラメータ解も無数に得ることが出来る。
		

証明終わり                      
       
3.例題

      例題１

     　　 x= (q^2+pq)a^2+(-r^2+s^2)ba+(pr-ps)b^2

          y= (p^2+pq)a^2+(-s^2+r^2)ba+(qr-qs)b^2

          z= (qr+pr)a^2+(-p^2+q^2)ba+(s^2-rs)b^2

          w= (ps+qs)a^2+(-p^2+q^2)ba+(rs-r^2)b^2
　　　　　
　　　　　上記の式に(p,q,r,s)=(1,6,8,9)を代入すると

          x=(42a^2+17ba-b^2)
          y=(7a^2-17ba-6b^2)
          z=(56a^2+35ba+9b^2)
          w=(63a^2+35ba+8b^2)
          となる。

　　　　　このパラメータ解から作られる数値例の中からx,y,z >0 の例を示しましょう。

　　　　　　　　　  739^3+38^3+1045^3=1156^3

　　　　　　　　　　1613^3+ 144^3+ 2235^3= 2486^3

　　　　　　　　　　3704^3+ 237^3+ 5202^3= 5765^3

                  　4369^3+ 524^3+ 5959^3= 6658^3

                  　4701^3+ 136^3+ 6731^3= 7422^3
　　　　　　　　　　　　　　　　.
                                .
                                .

　      例題２

     　　　x= (q^2+pq)a^2+(-r^2+s^2)ba+(pr-ps)b^2

          y= (p^2+pq)a^2+(-s^2+r^2)ba+(qr-qs)b^2

          z= (qr+pr)a^2+(-p^2+q^2)ba+(s^2-rs)b^2

          w= (ps+qs)a^2+(-p^2+q^2)ba+(rs-r^2)b^2
　　　　　
　　　　　上記の式に(p,q,r,s)=(3,4,5,6)を代入すると


          x=(28a^2+11ba-3b^2)
          y=(21a^2-11ba-4b^2)
          z=(35a^2+7ba+6b^2)
          w=(42a^2+7ba+5b^2)

          となる。
　　　　
　　　　　　このパラメータ解から作られる数値例。

                      38^3 -17^3+ 73^3= 76^3

                     131^3+ 58^3+ 160^3= 187^3

                     151^3 -18^3+ 236^3= 255^3

                     67^3 -438^3+ 752^3= 699^3


　　　　　　　　　　 また、既約でない解　36^3+ 6^3+ 48^3= 54^3　の両辺を6^3で割ると
　　　　　　　　　　 6^3+1^3+8^3=9^3　の既約解が得られる。