x3+y3+z3＝ｄ　の問題

１．はじめに

９ｎ+4、９ｎ-4以外の全ての整数は４個の３乗数の和で表されることは、証明されています。(Demjanenkoを参照)
それでは、９ｎ+4、９ｎ-4以外の全ての整数は３個の３乗数の和で表されるでしょうか？
d<1000の範囲では次の数がまだ解決できていません。
ｄ＝33, 42, 74, 114, 156, 165, 318, 366, 390, 420, 564, 579, 627, 633, 732, 758, 789,
795, 894, 906, 921, 933, 948, 975

一方d<1000の範囲で多くの結果が知られています。（Bernsteinを参照)

９ｎ+4、９ｎ-4の整数は、３個の３乗数の和で表され無い事は簡単に示すことが出来ます。
整数をｘ、ｙ、ｚとしてｘ3≡0,1,-1 mod 9　なのでｙ3、ｚ3も同様で、ｘ3＋ｙ3+ｚ3≡4,-4 mod 9とはなりません。

Bernstein：http://cr.yp.to/threecubes.html
Demjanenko：http://www.math.u-bordeaux1.fr/~cohen/sum4cub.ps

２．解法の理論

上記の問題を解くときに、ｘ3＋ｙ3＝ｚ3＋ｄ　とし、さらにｘ＋ｙ＝ｎとして
ｚ3＋ｄ≡0　mod　n　を解く問題に帰着することができます。
ｚ3＋ｄ≡0　mod　n　を解くには、φ(n)が判れば　3u-φ(n)ｖ＝１　の方程式を解けばｚは求めることが出来ます。
もちろん（3、φ(n)）＝１でなければいけませんが。

連立方程式 { x+y=n,ｘ2+xy+y2=(ｚ3＋ｄ)/n)} を解いて整数解があれば、ｘ3＋ｙ3＝ｚ3＋ｄが解けた事になる。

次に示す様に、ｘ3≡ｍ　ｍｏｄ　ｐの解を与える簡単な関係式を見つけました。

ｘ3≡m　mod　pの解の公式 　　　　

ｐは素数、ｘ、mは整数とする。 　　　　
（ｐ、m）＝１とする。

（１）.　p≡2　mod　3　の場合 　　　

　　　ｘ=m(2p-1)/3 mod p となる。

（２）.　p≡4　mod　9　の場合、m(p-1)/3≡1　mod　p　ならば 　　　

　　　ｘ=m(2p+1)/9 mod p で残りの２根はｘω、ｘω2となる。 　　　
　　　但し、ｘ2+ｘ+1≡0　mod　pの根をωとする。

（３）.　p≡7　mod　9　の場合、m(p-1)/3≡1　mod　pならば 　　　

　　　ｘ=m(p+2)/9 mod p で残りの２根はｘω、ｘω2となる。


証明

（1）ｘ＝m(2p-1)/3とすると、 　　　

ｘ3 ＝（m(2p-1)/3)3 　　　　　　
　 ＝m(2p-1) 　　　　　　
　 ＝mpm(p-1) 　　　　　　
　 ≡m　mod　p　(Fermatの定理：m(p-1)≡1 mod pより)

（2）ｘ＝m(2p+1)/9とすると 　　　

ｘ3＝（m(2p+1)/9)3 　　　　　　
　＝m(2p+1)/3 　　　　　　
　＝m（m(p-1)/3)2 　　　　　　
　≡m　mod　p 　　

（3）ｘ＝m(p+2)/9とすると

ｘ3＝（m(p+2)/9)3
　＝m(p+2)/3 　　　　　
　＝mm(p-1)/3 　　　　　
　≡m　mod　p



証明終わり

３．例題

例１　ｘ3≡2　ｍｏｄ　31 の根を求める。 　　　

p≡4　mod　9 だから根の１つは 　　　
ｘ＝2(2＊31+１)/9　mod　31 　　　　
　≡4　mod　31 　　　
ｘ^2＋ｘ＋１≡0　mod　31の根は｛5、25｝だから 　　　
残りの２根は4＊5≡20、4＊25≡7　mod 31 となる。 　　　
従って、ｘ≡｛4、7，20｝となる。

例２　x3+y3-z3=52の解, 607029013173 + 239612924543 -619227128653=52を導いてみます。

　　　
n=x+y=60702901317 + 23961292454=84664193771=521*162503251 として 　
z3+52≡0 mod n　を解きたいわけですが、ｎが合成数なので素因数分解して夫々について解きます。 　　
z3+52≡0 mod 521の解は,z=(-52)((2*521-1)/3) mod 521からz=290となる。
z3+52≡0 mod 162503251の解は,z=(-52)((162503251+2)/9) mod 162503251を計算して
z={8974234,86694519, 66834498}となる。
従ってＣＲＴ(chinese remainder therem)によってz3+52≡0 mod n　の解は 　　　
z={ 25417341654, 37462442249, 61922712865}となる。
z=61922712865の時、連立方程式 { x+y=84664193771,ｘ2+xy+y2=(619227128653＋52)/84664193771)}を解いて x=60702901317,y=23961292454となり、 これで　x3+y3-z3=52の解が求められた。

４．計算結果

ｘ3＋ｙ3+ｚ3=d　の計算を下記の条件で実行した。
1000<=|d|<=9999
max(x,y,z)<107
データの一部にmax(x,y,z)>107のものが含まれています。

a. 1000<=|d|<=1999

b. 2000<=|d|<=2999

c. 3000<=|d|<=3999

d. 4000<=|d|<=4999

e. 5000<=|d|<=5999

f. 6000<=|d|<=6999

g. 7000<=|d|<=7999

h. 8000<=|d|<=8999

i. 9000<=|d|<=9999

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